- 問題の解答例など解法は見ずに解いています。覚えていない部分は学習はしますが、直接問題の解き方は調べていません。
よって、順当な解法かは分かりませんが、何か参考になれば幸いです - なるべく細かく書くようにしています。不明点はコメントいただければ嬉しいです
- また、正解かどうかのチェックは行い、正解にはなっています
問題
問題は下記を開いてご確認ください。
第５問 （１）
ある市の市立図書館の利用状況について調査した。
- ある高校の生徒720人全員が調査対象
- ある一週間に市立図書館で借りた冊数について調査
- 調査結果は下記表の通り
| 借りた本の冊数 （確率変数） |
人数 |
|---|---|
| 0冊 | 612人 |
| 1冊 | 54人 |
| 2冊 | 36人 |
| 3冊 | 18人 |
| 4冊以上 | 0人 |
| 合計 | 720人 |
この高校の生徒から1人無作為に選んとき、その生徒が借りた本の冊数を表す確率変数を$X$とする。確率変数とは確率に掛ける変数なので、借りた冊数を指す。
$X$の平均（期待値）$E(x)$は？
$0$冊出る確率は、$720$人のうち$612$人なので$\displaystyle \frac{612}{720}=\frac{17}{20}$
※後で使うため計算しておく
$1$冊出る確率は、$720$人のうち$54$人なので$\displaystyle \frac{54}{720}=\frac{3}{40}$
$2$冊出る確率は、$720$人のうち$36$人なので$\displaystyle \frac{36}{720}=\frac{1}{20}$
$3$冊出る確率は、$720$人のうち$18$人なので$\displaystyle \frac{18}{720}=\frac{1}{40}$
先ほどの表に追加しておく。
| 借りた本の冊数 （確率変数） |
人数 | 確率 |
|---|---|---|
| 0冊 | 612人 | $\displaystyle \frac{17}{20}$ |
| 1冊 | 54人 | $\displaystyle \frac{3}{40}$ |
| 2冊 | 36人 | $\displaystyle \frac{1}{20}$ |
| 3冊 | 18人 | $\displaystyle \frac{1}{40}$ |
| 4冊以上 | 0人 | 0 |
| 合計 | 720人 | 1 |
よって、$X$の平均（期待値）$\displaystyle E(x)=1 \times \frac{3}{40} + 2 \times \frac{1}{20} + 3 \times \frac{1}{40}$
$\displaystyle E(x)=1 \times \frac{3}{40} + 2 \times \frac{1}{20} + 3 \times \frac{1}{40}$
$\displaystyle =\frac{3 + 4 + 3}{40}$
$\displaystyle =\frac{10}{40}$
$\displaystyle =\frac{1}{4}$
$\displaystyle E(x)=\frac{1}{4}$
$X^2$の平均$E(X^2)$は？
$X$の平均（期待値）$\displaystyle E(x)=1 \times \frac{3}{40} + 2 \times \frac{1}{20} + 3 \times \frac{1}{40}$より、
$X^2$の平均$\displaystyle E(X^2)=1^2 \times \frac{3}{40} + 2^2 \times \frac{1}{20} + 3^2 \times \frac{1}{40}$
※X^2なので確率変数である冊数だけを2乗する
$\displaystyle E(X^2)=1^2 \times \frac{3}{40} + 2^2 \times \frac{1}{20} + 3^2 \times \frac{1}{40}$
$\displaystyle =\frac{3 + 8 + 9}{40}$
$\displaystyle =\frac{20}{40}$
$\displaystyle =\frac{1}{2}$
$\displaystyle E(X^2)=\frac{1}{2}$
$X$の標準偏差$\sigma (X)$は？
まず、分散（標準偏差$^2$）を求める。※もっと良いやり方があります…
$\displaystyle E(x)=\frac{1}{4}$より、
$\displaystyle \sigma (X)^2= (0-\frac{1}{4})^2 \times \frac{17}{20}+ (1-\frac{1}{4})^2 \times \frac{3}{40} + (2-\frac{1}{4})^2 \times \frac{1}{20} + (3-\frac{1}{4})^2 \times \frac{1}{40}$
$\displaystyle \sigma (X)^2= (0-\frac{1}{4})^2 \times \frac{17}{20}+ (1-\frac{1}{4})^2 \times \frac{3}{40} + (2-\frac{1}{4})^2 \times \frac{1}{20} + (3-\frac{1}{4})^2 \times \frac{1}{40}$
$\displaystyle = \frac{1}{16} \times \frac{17}{20}+ \frac{9}{16} \times \frac{3}{40} + \frac{49}{16} \times \frac{1}{20} + \frac{121}{16} \times \frac{1}{40}$
$\displaystyle = \frac{34+27+98+121}{16 \cdot 40}$
$\displaystyle = \frac{280}{16 \cdot 40}$
$\displaystyle = \frac{7}{16}$
$\displaystyle \sigma (X)^2= \frac{7}{16}$より、
$\displaystyle \sigma (X)= \frac{\sqrt{7}}{4}$
※標準偏差とは、各データから平均を引いて2乗（正）したものを足して、それをデータ数で割った値のルートを取ったものなので、負にはならない
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よって、順当な解法かは分かりませんが、何か参考になれば幸いです - なるべく細かく書くようにしています。不明点はコメントいただければ嬉しいです
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