【三角比】180°ーθの値は？sin、cos、tan

$\sin \theta$、$\cos \theta$、$\tan \theta$と$\sin(180^{\circ}-\theta)$、$\cos(180^{\circ}-\theta)$、$\tan(180^{\circ}-\theta)$の値の関係性を知っているとテストなどでも役に立ちます。

単位円を用いて、どのような関係性があるのか調べたいと思います。

単位円について気になる方は下記をご覧ください。

結論

$180^{\circ}-\theta$とは

$180^{\circ}$と$\theta$を図示して$180^{\circ}-\theta$がどのようなものか確認してみましょう。

$\theta < 180^{\circ}$の場合

$\theta < 180^{\circ}$の場合、$180^{\circ}$と$\theta$を図示すると下図のようになります。

よって、$180^{\circ}-\theta$は$180^{\circ}$から$\theta$を除いた部分（下図青部）なので下のようになります。

単位円に合わせるために、$180^{\circ}-\theta$を水平方向に反転させておきます。

単位円で見ると下記のようになります。詳しくは後ほど確認しますが、点$P$と点$Q$は$Y$軸を基準に反転した座標です。つまり、$X$軸はプラスマイナスが反対で、$Y$座標は同じになります。$P$、$Q$は同じような値で座標を表せそうですね。

$180^{\circ} < \theta < 360^{\circ}$の場合

$180^{\circ} < \theta < 360^{\circ}$の場合、$180^{\circ}$と$\theta$を図示すると下図のようになります。

$180^{\circ} < \theta$なので、$180^{\circ}-\theta$はマイナスになるので絶対値にして図示しました。

単位円に合わせるために、$180^{\circ}-\theta$を水平方向に反転させておきます。

単位円で見ると下記のようになります。詳しくは後ほど確認しますが、点$P$と点$Q$は$Y$軸を基準に反転した座標です。$\theta < 180^{\circ}$の場合と同じく$P$、$Q$は同じような値で座標を表せそうです。

単位円を用いて$\sin(180^{\circ}-\theta)$、$\cos(180^{\circ}-\theta)$、$tan(180^{\circ}-\theta)$がどうなるか確認する

単位円は、原点$O$、点$S(1, \, 0)$、円周上の点$P$に対して$\angle POS=\theta$とすると、$P$の座標を$(\cos \theta, \, \sin \theta)$、つまり$x=\cos \theta$、$y=\sin \theta$と定義しています。また、$tan \theta$は$\displaystyle \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$と定義されています。

角度は$OS$を基準に何度か決まるわけですね。

$0^{\circ} < \theta < 180^{\circ}$の場合

上図のとおり、$\theta$、$180^{\circ}-\theta$の各座標は下記のとおりです。

$\theta$の座標は$(\cos\theta, \, sin\theta)$
$180^{\circ}-\theta$の座標は$(\cos(180^{\circ}-\theta), \, sin(180^{\circ}-\theta))$

ここで、下図の赤と青の三角形を見てください。

この2つの三角形はともに直角三角形です。そして、原点と接する角$\angle QOS$、$\angle POR$はともに$\theta$です。従って残り一つの角も同じになります。

また、斜辺$OQ$、$OP$はともに単位円の半径なので$1$です。

合同

上記より下記を満たすので$\bigtriangleup OQS \equiv \bigtriangleup OPR$（合同）です。

• $OQ=OP$
• $\angle QOS  = \angle POR$
• $\angle OQS  = \angle OPR$
• 上3つより、１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい

$\bigtriangleup OQS \equiv \bigtriangleup OPR$（合同）より

$\bigtriangleup OQS \equiv \bigtriangleup OPR$（合同）より、角辺がそれぞれ等しい。

つまり、点$P$と点$Q$の座標の数値が等しいということです。ただし、点$Q$はX軸のマイナス側にあるので、点$P$の$x$座標をマイナスにした値となります。

点$P$の座標は$(\cos\theta, \, sin\theta)$なので、点$Q$の座標は$(-\cos\theta, \, sin\theta)$と書くことができます。

各座標が等しいので、$\cos$と$\sin$の関係性は下記だと分かりました。

$\cos(180^{\circ}-\theta)=-\cos\theta$

$sin(180^{\circ}-\theta)=sin\theta$

$\cos$と$\sin$が分かったので、$\tan$も分かります。

$\displaystyle \tan(180^{\circ}-\theta)=-\tan \theta$

※単位円について気になる方は下記をご覧ください

$180^{\circ} < \theta < 360^{\circ}$の場合

上図のとおり、$\theta$、$180^{\circ}-\theta$の各座標は下記のとおりです。

$\theta$の座標は$(\cos\theta, \, sin\theta)$
$180^{\circ}-\theta$の座標は$(\cos(180^{\circ}-\theta), \, sin(180^{\circ}-\theta))$

ここで、下図の赤と青の三角形を見てください。

この2つの三角形はともに直角三角形です。そして、原点と接する角$\angle QOS$、$\angle POR$はともに$180^{\circ}-\theta$です。従って残り一つの角も同じになります。

また、斜辺$OQ$、$OP$はともに単位円の半径なので$1$です。

合同

上記より下記を満たすので$\bigtriangleup OQS \equiv \bigtriangleup OPR$（合同）です。

• $OQ=OP$
• $\angle QOS  = \angle POR$
• $\angle OQS  = \angle OPR$
• 上3つより、１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい

$\bigtriangleup OQS \equiv \bigtriangleup OPR$（合同）より

$\bigtriangleup OQS \equiv \bigtriangleup OPR$（合同）より、角辺がそれぞれ等しい。

つまり、点$P$と点$Q$の座標の数値が等しいということです。ただし、点$Q$はX軸のプラス側にあるので、点$P$がマイナス側にあるため$x$座標をマイナスにした値となります。

点$P$の座標は$(\cos\theta, \, sin\theta)$なので、点$Q$の座標は$(-\cos\theta, \, sin\theta)$と書くことができます。

各座標が等しいので、$\cos$と$\sin$の関係性は下記だと分かりました。

$\cos(180^{\circ}-\theta)=-\cos\theta$

$sin(180^{\circ}-\theta)=sin\theta$

$\cos$と$\sin$が分かったので、$\tan$も分かります。

$\displaystyle \tan(180^{\circ}-\theta)=-\tan \theta$

$180^{\circ} < \theta < 360^{\circ}$の場合も$0^{\circ} < \theta < 180^{\circ}$の場合と同じ結果になりました。

$0^{\circ}$、$180^{\circ}$のとき

$\theta=0^{\circ}$のとき、$180^{\circ}-\theta$は$180^{\circ}$であり、$\theta=180^{\circ}$のとき、$180^{\circ}-\theta$は$0^{\circ}$になります。

よって、それぞれの座標が分かればOKです。

$\theta=0^{\circ}$の座標は$(1, \, 0)$

$\theta=180^{\circ}$の座標は$(-1, \, 0)$

よって、$\cos 0^{\circ} = 1$、$\sin 0^{\circ} = 0$、$\cos 180^{\circ} = -1$、$\sin 180^{\circ}= 0$になります。

$\sin 0^{\circ} = \sin 180^{\circ} =0$なので、$\sin 0^{\circ}=\sin 180^{\circ}=\sin (180^{\circ}-0^{\circ})$

$\sin 180^{\circ}=\sin 0^{\circ}=\sin (180^{\circ}-180^{\circ})$

※$\tan$は$\sin$、$\cos$から計算するだけなので省略

$0^{\circ}$、$180^{\circ}$のときも成り立ちました。

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キーワード

気になる人は調べてみてね。

$180^{\circ}-\theta$、$sin \theta$、$cos \theta$、$tan \theta$、三角比