- 問題の解答例など解法は見ずに解いています。覚えていない部分は学習はしますが、直接問題の解き方は調べていません。
よって、順当な解法かは分かりませんが、何か参考になれば幸いです - なるべく細かく書くようにしています。不明点はコメントいただければ嬉しいです
- また、正解かどうかのチェックは行い、正解にはなっています
問題
問題は下記を開いてご確認ください。
第２問 （１）
$a>0$、$f(x)=x^2-(4a-2)x+4a^2+1$とおく。
放物線$y=x^2+2x+1$を$C$、放物線$y=f(x)$を$D$とする。$l$を$C$と$D$の両方に接する直線とする。
$C$との接点より、$l$の方程式を求める
$l$と$C$は点$(t, \, t^2+2t+1)$において接するとする。
まず、$y=x^2+2x+1$を微分すると、
$y’=2x+2$
この$2x+2$は$y=x^2+2x+1$の接線の傾きになる。例えば、$x=1$のときであれば、傾きは$4$である。
よって、直線$l$の場合は、点$(t, \, t^2+2t+1)$で接するので、傾きは$2t+2$となる。よって、直線$l$は
$y=(2t+2)x+b$※$b$は切片
次に切片$b$を求めたいので、点$(t, \, t^2+2t+1)$を代入すると、
$t^2+2t+1=(2t+2)t+b$
$t^2+2t+1=(2t+2)t+b$
$t^2+2t+1=2t^2+2t+b$
$-t^2 +1=b$
$b=-t^2 +1$
切片$b=-t^2 +1$。
よって、直線$l$の方程式は$b=-t^2 +1$を代入して、
$y=(2t+2)x-t^2 +1$・・・（ i ）
$D$との接点より、$l$の方程式を求める
$l$と$D$は点$(s, \, f(s))$において接するとする。
まず、$f(s)=s^2-(4a-2)s+4a^2+1$
次に、$f(x)=x^2-(4a-2)x+4a^2+1$を微分すると、
$f'(x)=2x-4a+2$
この$2x-4a+2$は$f(x)=x^2-(4a-2)x+4a^2+1$の接線の傾きになる。例えば、$x=1$のときであれば、傾きは$-4a$である。
よって、直線$l$の場合は、点$(s, \, f(s))$で接するので、傾きは$2s-4a+2$となる。よって、直線$l$は
$y=(2s-4a+2)x+c$※$c$は切片
次に切片$c$を求めたいので、点$(s, \, s^2-(4a-2)s+4a^2+1)$を代入すると、
$s^2-4as+2s+4a^2+1=2s^2-4as+2s+c$
$-s^2+4a^2+1=c$
$c=-s^2+4a^2+1$
切片$c=-s^2+4a^2+1$。
よって、直線$l$の方程式は$c=-s^2+4a^2+1$を代入して、
$y=(2s-4a+2)x-s^2+4a^2+1$・・・（ ii ）
$t$と$s$の値は？
上記( i )( ii )より、直線$l$は下記2式で表せる。
$y=(2t+2)x-t^2 +1$・・・（ i ）
$y=(2s-4a+2)x-s^2+4a^2+1$・・・（ ii ）
各項の係数は同じ値になるので、次の関係式が成り立つ。
$2t+2=2s-4a+2$・・・( iii )
$-t^2 +1=-s^2+4a^2+1$・・・( iv )
( iii ) より、
$2t=2s-4a$→$t=s-2a$・・・( iii´ )
これを( iv )に代入すると、
$-(s-2a)^2 +1=-s^2+4a^2+1$
$-(s-2a)^2 +1=-s^2+4a^2+1$
$-(s^2-4as+4a^2) +1=-s^2+4a^2+1$
$4as=8a^2$
$s=2a$
$s=2a$
( iii´ )に$s=2a$を代入すると、
$t=2a-2a=0$
$t=0$
$l$の方程式は？
（ i ）$y=(2t+2)x-t^2 +1$に$t=0$を代入すると、
$y=2x+1$
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