令和2年センター本試＞数２Ｂ＞第1問 [1] (2)解いてみた

＜ 第1問 [1] (1)

問題

問題は下記を開いてご確認ください。

令和２年度本試験の問題｜大学入試センター

第１問 [１]（２）

$\displaystyle 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$、$k$は実数。

$k$の値は？

$\sin \theta $と$\cos\theta$は2次方程式$25x^2-35x+k=0$の解なので
$(x -\sin\theta)(x -\cos\theta)=0$が成り立つ。

展開すると、
$x^2 -(\sin\theta+\cos\theta)+\sin\theta\cos\theta=0$・・・( i )

$25x^2-35x+k=0$と係数を合わせるため、( i )を両辺25倍すると

下記2式の係数を比較すると、

$25x^2\color{red}-35\color{black}x+\color{orange}k\color{black}=0$

下記2式の関係式が出てくる、
$35=25(\sin\theta+\cos\theta)$・・・( ii )
$k=25\sin\theta\cos\theta$・・・( iii )

( ii )を少し変形する、

$\displaystyle \sin\theta+\cos\theta=\frac{7}{5}$・・・( ii )’

$k$の値を求めるために、( ii )’を$\sin\theta\cos\theta$を含む形にするため、両辺2乗する

$\displaystyle (\sin\theta+\cos\theta)^2=(\frac{7}{5})^2$

$\displaystyle \sin\theta\cos\theta=\frac{12}{25}$

よって$k=25\sin\theta\cos\theta$・・・( iii )に↑を代入すると、

$\displaystyle k=25・\frac{12}{25}=12$

$\sin \theta$、$\cos \theta$の値は？

$k=12$より、$25x^2-35x+12=0$である。因数分解すると、
$25x^2-35x+12=0$
$(5x-4)(5x-3)=0$

よって、解は$\displaystyle x=\frac{4}{5}$、$\frac{3}{5}$となる。

解は$\cos\theta$と$\sin\theta$でかつ、$\sin\theta\leq\cos\theta$という条件があるので、
$\displaystyle \sin\theta=\frac{4}{5}$、$\displaystyle \cos\theta=\frac{3}{5}$

$\theta$の範囲は？

$\displaystyle \sin\theta=\frac{4}{5}$である。

$\sin$の値で簡単にわかるものを確認すると、下記のようになる。

$\displaystyle \sin\theta=\frac{4}{5}=0.8$なので上表より、$\displaystyle \sin\frac{\pi}{4}\leq \sin\theta　\leq\sin\frac{\pi}{3}$

よって、$\displaystyle \frac{\pi}{4}\leq\theta

単位円で考えると、$\sin\theta$は$\displaystyle \frac{y座標}{半径}$、$\cos\theta$は$\displaystyle \frac{x座標}{半径}$なので、$\sin\theta$の値が大きいということは、$y$座標の方が大きいはずなので、角度としては、半分の$45^{\circ}$～$90^{\circ}$ということが分かる。

よって、$\displaystyle \frac{\pi}{4} \leq \theta \leq \sin\frac{\pi}{3}$（※選択肢：３）

＜ 第1問 [1] (1)

スポンサーリンク