単位円とは？

単位円とは原点を中心とする半径１の円のことです。

この単位円を使うことで、$\sin$、$\cos$の値を簡単な形で表すことができます。三角比を考える上で非常に便利なツールなので覚えておくことをオススメします。

単位円

単位円とは下図のように原点$O$を中心とする半径１の円のことです。

単位円に点$P$をとり、直角三角形を作る

単位円の円周上に点$P(x, \, y)$をとり、$X$軸に垂線を下ろします。その垂線と$X$軸との交点をQとすると、$\bigtriangleup OPQ$は直角三角形となります。

半径$1$なので斜辺も$1$

円の半径は$1$なので、斜辺$PO$も$1$になります。

ここで、$\angle POQ=\theta$とすると、斜辺$PO=1$なので、

$\displaystyle \sin \theta=\frac{y}{1}=y$

$\displaystyle \cos \theta=\frac{x}{1}=x$

となります。

$X$座標$x=\cos \theta$、$Y$座標$y=\sin \theta$なので、点$P$の座標は$(\cos \theta, \, \sin \theta)$になります。

とても便利

$cos$も$sin$も分母は斜辺になります。つまり、単位円の場合であれば斜辺は半径なので$1$です。よって、$cos$の値は$x$座標の値に、$sin$の値は$y$座標の値になります。

単位円のおかげでかなりシンプルな形になります。三角比を考える上で、とても便利なツールですね。

$90^{\circ}<\theta$の場合

$90^{\circ}<\theta$の場合は、直角三角形を作れません。

そもそも$180^{\circ}<\theta$の場合は、三角形の内角の和を超えるので三角形すら作れません。

ですので、先ほど見た「$\theta<90^{\circ}$の場合の点$P(\cos \theta, \, \sin \theta)$」を拡張します。

つまり、単位円の円周上の点$P$の$X$座標の値を$\cos \theta$、$Y$座標の値を$\sin \theta$と定義します。定義なのでこれは覚えましょう。単位円から思い出せるようにしておくと良いと思います。

※$(1, \, 0)$を$S$として、$\theta$は$\angle POS$になります

$90^{\circ} < \theta < 180^{\circ}$の場合

$x = \cos \theta$、$y = \sin \theta$となります。

ここで注目すべきは$cos \theta$の値は負という点です。

$180^{\circ} < \theta < 270^{\circ}$の場合

$x = \cos \theta$、$y = \sin \theta$となります。

ここで注目すべきは$cos \theta$、$sin \theta$の値はともに負という点です。

$270^{\circ} < \theta < 360^{\circ}$の場合

$x = \cos \theta$、$y = \sin \theta$となります。

ここで注目すべきは$sin \theta$の値は負という点です。

符号についてまとめると

$\theta$の範囲	$\cos \theta$	$\sin \theta$
$0^{\circ}<\theta < 90^{\circ}$	正	正
$90^{\circ}<\theta < 180^{\circ}$	負	正
$180^{\circ}<\theta < 270^{\circ}$	負	負
$270^{\circ}<\theta < 360^{\circ}$	正	負

$\theta$が$0^{\circ},\,90^{\circ},\,180^{\circ},\,270^{\circ}$のとき

これらも同じように考えれば良いので、点$P$の座標をチェックしましょう。

下図のとおりの座標であることがすぐにわかるかと思います。

それでは、こちらも表にまとめておきます。

$\theta$	$\cos \theta$	$\sin \theta$
$0^{\circ}$	1	0
$90^{\circ}$	0	1
$180^{\circ}$	-1	0
$270^{\circ}$	0	-1

まとめ

単位円において、$\theta$が$0^{\circ}～360^{\circ}$のときの$\sin \theta$、$\cos \theta$を確認できました。

三角比を考える上でいろいろな特徴も導き出せるので、単位円と三角比の関係は是非覚えておきたいところです。

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キーワード

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単位円、$\sin \theta$、$\cos \theta$、三角比