正しく証明・計算の結果が学術的に本当に正しいかどうかは保証できません…ご了承くださいm(__)m
学生の方であれば、疑問に思ったところなどは教授・助教授、その他周りの方に確認してくださいね。
もし、コメント等でご指摘いただければ有難いです。
このページのまとめ
- 基本の論理式の真理値表を確認する
- 基本の論理式は、論理積「$\land$」、論理和「$\lor$」、否定「$\lnot$」、含意「$\to$」の4つ
- これらの論理式は公理にも出てくるので、どういった意味かチェックしておく
真理値表
これから公理を元に証明していく上で、基本となる4つの論理式の真理値表を確認しておきます。
基本となる論理式とは、論理積「$\land$」、論理和「$\lor$」、否定「$\lnot$」、含意「$\to$」です。それぞれ意味が定義されていて、それに従って真理値表を作ります。
論理積「$\land$」
$P \land Q$（PかつQ）は、命題$P$、$Q$がともに「真」のときのみ「真」、それ以外の場合は「偽」となる論理式で、真理値表は下記のようになります。
| $P$ | $Q$ | $P \land Q$ |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | F |
| F | F | F |
詳しくはこちら→P∧Q（論理積）の真理値表を示せ ＞
論理和「$\lor$」
$P \lor Q$（PまたはQ）は、命題$P$か$Q$の少なくともどちらか一方が「真」のとき「真」、それ以外の場合は「偽」となる論理式で、真理値表は下記のようになります。
| $P$ | $Q$ | $P \lor Q$ |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | T |
| F | T | T |
| F | F | F |
詳しくはこちら→P∨Q（論理和）の真理値表を示せ ＞
否定「$\lnot$」
$\lnot P$（Pの否定）は、命題Pが「真」であれば「偽」、Pが「偽」であれば「真」となる論理式で、真理値表は下記のようになります。
| $P$ | $\lnot P$ |
|---|---|
| T | F |
| F | T |
詳しくはこちら→¬P（否定）の真理値表を示せ ＞
含意「$\to$」
$P \to Q$（PならばQ）は、命題$P$が「真」で$Q$が「偽」のときのみ「偽」、それ以外「真」となる論理式で、真理値表は下記のようになります。
| $P$ | $Q$ | $P \to Q$ |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
詳しくはこちら→P→Q（含意）の真理値表を示せ ＞
含意「$\to$」は否定「$\lnot$」と論理和「$\lor$」で書ける
実は、「$P \to Q$」という論理式は、否定と論理和で$\lnot P \lor Q$のように書くことができます。下記の真理値表を見ると、含意の真理値表と一致していることが分かります。
| $P$ | $Q$ | $\lnot P$ | $\lnot P \lor Q$ |
|---|---|---|---|
| T | T | F | T |
| T | F | F | F |
| F | T | T | T |
| F | F | T | T |
詳しくはこちら→$(P \to Q) \leftrightarrow (\lnot P \lor Q)$を確認せよ ＞
よって、「$P \to Q$」を使わずとも問題ありません。ですが、表記などを短くできたりなど便利な点が多いので、「$\to$」という記号を使い、真理値表は上記で示したものを使います。
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このページのまとめ
- 基本の論理式の真理値表を確認する
- 基本の論理式は、論理積「$\land$」、論理和「$\lor$」、否定「$\lnot$」、含意「$\to$」の4つ
- これらの論理式は公理にも出てくるので、どういった意味かチェックしておく
キーワード
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