#1 論理積、論理和、否定、含意の真理値表を確認する
注意点

正しく証明・計算の結果が学術的に本当に正しいかどうかは保証できません…ご了承くださいm(__)m
学生の方であれば、疑問に思ったところなどは教授・助教授、その他周りの方に確認してくださいね。
もし、コメント等でご指摘いただければ有難いです。

このページのまとめ

  1. 基本の論理式の真理値表を確認する
  2. 基本の論理式は、論理積「$\land$」、論理和「$\lor$」、否定「$\lnot$」、含意「$\to$」の4つ
  3. これらの論理式は公理にも出てくるので、どういった意味かチェックしておく

真理値表

これから公理を元に証明していく上で、基本となる4つの論理式の真理値表を確認しておきます。

基本となる論理式とは、論理積「$\land$」、論理和「$\lor$」、否定「$\lnot$」、含意「$\to$」です。それぞれ意味が定義されていて、それに従って真理値表を作ります。

論理積「$\land$」

$P \land Q$(PかつQ)は、命題$P$、$Q$がともに「」のときのみ「」、それ以外の場合は「となる論理式で、真理値表は下記のようになります。

$P$ $Q$ $P \land Q$
T T T
T F F
F T F
F F F

詳しくはこちら→P∧Q(論理積)の真理値表を示せ >

論理和「$\lor$」

$P \lor Q$(PまたはQ)は、命題$P$か$Q$の少なくともどちらか一方が「」のとき「」、それ以外の場合は「となる論理式で、真理値表は下記のようになります。

$P$ $Q$ $P \lor Q$
T T T
T F T
F T T
F F F

詳しくはこちら→P∨Q(論理和)の真理値表を示せ >

否定「$\lnot$」

$\lnot P$(Pの否定)は、命題Pが「」であれば「」、Pが「」であれば「となる論理式で、真理値表は下記のようになります。

$P$ $\lnot P$
T F
F T

詳しくはこちら→¬P(否定)の真理値表を示せ >

含意「$\to$」

$P \to Q$(PならばQ)は、命題$P$が「」で$Q$が「」のときのみ「」、それ以外「となる論理式で、真理値表は下記のようになります。

$P$ $Q$ $P \to Q$
T T T
T F F
F T T
F F T

詳しくはこちら→P→Q(含意)の真理値表を示せ >

含意「$\to$」は否定「$\lnot$」と論理和「$\lor$」で書ける

実は、「$P \to Q$」という論理式は、否定と論理和で$\lnot P \lor Q$のように書くことができます。下記の真理値表を見ると、含意の真理値表と一致していることが分かります。

$P$ $Q$ $\lnot P$ $\lnot P \lor Q$
T T F T
T F F F
F T T T
F F T T

詳しくはこちら→$(P \to Q) \leftrightarrow (\lnot P \lor Q)$を確認せよ >

よって、「$P \to Q$」を使わずとも問題ありません。ですが、表記などを短くできたりなど便利な点が多いので、「$\to$」という記号を使い、真理値表は上記で示したものを使います。

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このページのまとめ

  1. 基本の論理式の真理値表を確認する
  2. 基本の論理式は、論理積「$\land$」、論理和「$\lor$」、否定「$\lnot$」、含意「$\to$」の4つ
  3. これらの論理式は公理にも出てくるので、どういった意味かチェックしておく

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