正しく証明・計算の結果が学術的に本当に正しいかどうかは保証できません…ご了承くださいm(__)m
学生の方であれば、疑問に思ったところなどは教授・助教授、その他周りの方に確認してくださいね。
もし、コメント等でご指摘いただければ有難いです。
【問題】$(P \to Q)$と$ (\lnot P \lor Q)$が論理的に同値であることを示せ
命題変数$P$、$Q$に対して$(P \to Q) $と$(\lnot P \lor Q)$が論理的に同値であることを示せ。
回答
命題変数$P$、$Q$はそれぞれ真（T）、偽（F）の2パターンがあります。よって、すべての組み合わせは「真と真」「真と偽」「偽と真」「偽と偽」になるため、その4通りを確認します。
$P \to Q$の真理値表
まず、$P \to Q$の真理値表（表１）は下記の通りです。
| $P$ | $Q$ | $P \to Q$ |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
※参考：P→Qの真理値表を示せ
$\lnot P \lor Q$の真理値表
次に、$\lnot P \lor Q$の真理値表（表２）は下記の通りです。
| $P$ | $Q$ | $\lnot P$ | $\lnot P \lor Q$ |
|---|---|---|---|
| T | T | F | T |
| T | F | F | F |
| F | T | T | T |
| F | F | T | T |
※参考：￢Pの真理値表を示せ
※参考：P∨Qの真理値表を示せ
表１、表２より、$P \to Q$と$\lnot P \lor Q$の真偽が一致しました。よって、$P \to Q$と$\lnot P \lor Q$が論理的に同値であることを示せました。
Q.E.D.
備考
$P \to Q$と$\lnot P \lor Q$は論理的に同値なので、$P \to Q$と$\lnot P \lor Q$はお互いに置き換えることができます。
よって、$P \to Q$は「$\to$」の記号を使わなくても、否定と論理和を用いて$\lnot P \lor Q$と表すことができることが分かりました。
ですが、$P \to Q$と含意の記号を使った方が便利なことが多いので「$\to$」を使うことにします（短く書けるなど）。
キーワード
気になる人は調べてみてね。
数理論理学、含意（$\to$）、否定（$\lnot$）、論理和（$\lor$）、命題変数、論理式、真理値表、Q.E.D.
正しく証明・計算の結果が学術的に本当に正しいかどうかは保証できません…ご了承くださいm(__)m
学生の方であれば、疑問に思ったところなどは教授・助教授、その他周りの方に確認してくださいね。
もし、コメント等でご指摘いただければ有難いです。
