正しく証明・計算の結果が学術的に本当に正しいかどうかは保証できません…ご了承くださいm(__)m
学生の方であれば、疑問に思ったところなどは教授・助教授、その他周りの方に確認してくださいね。
もし、コメント等でご指摘いただければ有難いです。
このページのまとめ
- $(P \to Q) \land (Q \to P)$を$P \leftrightarrow Q$（同値）と書く
- 命題$P$、$Q$が同値であるとは、$P$と$Q$がともに「真」、または、ともに「偽」ということ
- 同値は$P \leftrightarrow P$が常に成り立つ（反射律）
- 同値は$(P \leftrightarrow Q) \to (Q \leftrightarrow P)$が常に成り立つ（対象律）
- 同値は$\{(P \leftrightarrow Q) \land (Q \leftrightarrow R)\} \to (P \leftrightarrow R)$が常に成り立つ（推移律）
$P \leftrightarrow Q$（同値）とは
命題$P$、$Q$に対して、$(P \to Q) \land (Q \to P)$を$P \leftrightarrow Q$（同値）と書きます。
$P \leftrightarrow Q$の真理値表
| $P$ | $Q$ | $P \to Q$ | $Q \to P$ | $(P \to Q) \land (Q \to P)$ |
|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T |
| T | F | F | T | F |
| F | T | T | F | F |
| F | F | T | T | T |
$(P \to Q) \land (Q \to P)$を$P \leftrightarrow Q$（同値）と書くので、同値の真理値表も同じく下記になります。
| $P$ | $Q$ | $P \leftrightarrow Q$ |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | F |
| F | F | T |
参考リンク
$P \leftrightarrow Q$が成り立つとは？
命題$P$、$Q$が同値であるとは、$P \leftrightarrow Q$が「真」であるということです。
真理値表の「真」となるパターンを確認すると、$P$、$Q$ともに「真」、またはともに「偽」であるということが分かります。
つまり、$P \leftrightarrow Q$が成り立つとき、$P$が「真」と分かれば、$Q$が「真」であることが分かります。さらに、$Q$が「真」と分かれば、$P$が「真」も言えます。
※対称律が成り立つので$P$と$Q$を入れ替えれます（後で書きます）
同様に、$P$が「偽」と分かれば、$Q$が「偽」であることが分かりますし、$Q$が「偽」と分かれば、$P$が「偽」も言えます。
これは証明する上で、とても役に立ちそうです。
同値の性質
同値には反射律、対象律、推移律といった性質があります。
反射率（$P \leftrightarrow P$）
| $P$ | $P \leftrightarrow P$ |
|---|---|
| T | T |
| F | T |
$P \leftrightarrow P$が$P$の真偽に関わらず常に「真」となります。よって、$P \leftrightarrow P$は必ず成り立ちます、これを反射率と言います。
また、このように$P$の真偽に関わらず常に「真」になる論理式を恒真式（トートロージー）と言います。
対象律（$(P \leftrightarrow Q) \to (Q \leftrightarrow P)$）
| $P$ | $Q$ | $P \leftrightarrow Q$ | $Q \leftrightarrow P$ | $(P \leftrightarrow Q) \to (Q \leftrightarrow P)$ |
|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T |
| T | F | F | F | T |
| F | T | F | F | T |
| F | F | T | T | T |
$(P \leftrightarrow Q) \to (Q \leftrightarrow P)$が$P$、$Q$の真偽に関わらずどのパターンでも常に「真」となります。よって、$(P \leftrightarrow Q) \to (Q \leftrightarrow P)$は必ず成り立ちます、これを対象率と言います。こちらも恒真式（トートロージー）です。
この対象律によって、$(P \leftrightarrow Q) \to (Q \leftrightarrow P)$は常に成り立つので、$P \leftrightarrow Q$であれば$Q \leftrightarrow P$が成り立ちます。
推移律（$\{(P \leftrightarrow Q) \land (Q \leftrightarrow R)\} \to (P \leftrightarrow R)$）
| $P$ | $Q$ | $R$ | $P \leftrightarrow Q$ | $Q \leftrightarrow R$ | $(P \leftrightarrow Q) \land (Q \leftrightarrow R)$ | $P \leftrightarrow R$ | $\{(P \leftrightarrow Q) \land (Q \leftrightarrow R)\} \to (P \leftrightarrow R)$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T | T | T | T |
| T | T | F | T | F | F | F | T |
| T | F | T | F | F | F | T | T |
| T | F | F | F | T | F | F | T |
| F | T | T | F | T | F | F | T |
| F | T | F | F | F | F | T | T |
| F | F | T | T | F | F | F | T |
| F | F | F | T | T | T | T | T |
$\{(P \leftrightarrow Q) \land (Q \leftrightarrow R)\} \to (P \leftrightarrow R)$が$P$、$Q$、$R$の真偽に関わらずどのパターンでも常に「真」となります。よって、$\{(P \leftrightarrow Q) \land (Q \leftrightarrow R)\} \to (P \leftrightarrow R)$は必ず成り立ちます、これを推移率と言います。こちらも恒真式（トートロージー）です。
この推移律によって、$\{(P \leftrightarrow Q) \land (Q \leftrightarrow R)\} \to (P \leftrightarrow R)$は常に成り立つので、$(P \leftrightarrow Q) \land (Q \leftrightarrow R)$であれば$(P \leftrightarrow R)$が成り立ちます。
このページのまとめ
- $(P \to Q) \land (Q \to P)$を$P \leftrightarrow Q$（同値）と書く
- 命題$P$、$Q$が同値であるとは、$P$と$Q$がともに「真」、または、ともに「偽」ということ
- 同値は$P \leftrightarrow P$が成り立つ（反射律）
- 同値は$(P \leftrightarrow Q) \to (Q \leftrightarrow P)$が成り立つ（対象律）
- 同値は$\{(P \leftrightarrow Q) \land (Q \leftrightarrow R)\} \to (P \leftrightarrow R)$が成り立つ（推移律）
キーワード
気になる人は調べてみてね。
数理論理学、同値（$\leftrightarrow$）、論理積（$\land$）、含意（$\to$）、反射律、対象律、推移律、恒真式（トートロージー）、命題、命題変数、命題論理式、論理式、真理値表、Q.E.D.
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