【三角関数】加法定理の証明

前回$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$を証明しました。

今回は残りの加法定理を証明していきたいと思います。それらは↑を使って証明できるので基本的には計算のみになります。

求められる加法定理

$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$
→前回証明済み

$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$

$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha \cos\beta -\cos\alpha \sin\beta$

$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$

$\displaystyle\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}$

$\displaystyle \tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$

$\cos(\alpha+\beta)$$=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$

前回証明した$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$を利用したいので、$\cos(\alpha+\beta)$をマイナスの形にするため下記のように変換します。

$\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha\color{red}-(-\beta)\color{black})$・・・( i )

次に既に証明されている$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$は$\beta$が$-\beta$の場合でも成立するので置き換えれば( i )の形が作れます。

$\cos(\alpha-(\color{red}-\beta\color{black}))=\cos\alpha\cos(\color{red}-\beta\color{black})+\sin\alpha\sin(\color{red}-\beta\color{black})$

そして↑を( i )の右辺に代入すると、

$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos(-\beta)+\sin\alpha\sin(-\beta)$

さらに、↑に$\cos(-\beta)=\cos\beta$、$\sin(-\beta)=-\sin\beta$（※$-\theta$についてはこちら＞）を代入すると、

$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha(-\sin\beta)$
$\color{white}\cos(\alpha+\beta)\color{black}$$=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$

1つ目の証明終了です。

$\sin(\alpha-\beta)$$=\sin\alpha \cos\beta -\cos\alpha \sin\beta$

こちらも前回証明した$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$を利用したいと思います。

$\cos(\alpha-\beta)$を変形して$\sin(\alpha-\beta)$の形にしたいので、$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$（※三角比の相互関係についてはこちら）が使えそうです。

$\alpha-\beta$に対して$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$より

$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$より、$\sin^2(\alpha-\beta)+\cos^2(\alpha-\beta)=1$が成り立つので、
$\sin^2(\alpha-\beta)=1-\cos^2(\alpha-\beta)$

続いて↑に既に証明済の$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$を代入すると、

$\sin^2(\alpha-\beta)=1-(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta)^2$

展開すると、

$\sin^2(\alpha-\beta)=\color{red}1-\cos^2\alpha\cos^2\beta\color{black}-2\cos\alpha\cos\beta\sin\alpha\sin\beta\color{red}-\sin^2\alpha\sin^2\beta$・・・( ii )

$\alpha$、$\beta$に対して$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$より

ここで、( ii )の赤字に注目すると、$1$と2乗同士を掛け合った値があります。2乗と$1$いえば、やはり$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$が思い浮かびます。

よって、下記2式の各辺を掛け合います。
$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$
$\sin^2\beta+\cos^2\beta=1$

$(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)(\sin^2\beta+\cos^2\beta)=1・1=1$

左辺を展開すると、

$\color{red}\sin^2\alpha\sin^2\beta\color{black}+ \sin^2\alpha \cos^2\beta +\cos^2\alpha \sin^2\beta+\color{red}\cos^2\alpha\cos^2\beta\color{black}=1$

変形して( ii )の形を作り代入する

↑の（左辺）の赤字を（右辺）に移せば( ii )の赤字と同じ形になるので移すと、

$\sin^2\alpha \cos^2\beta +\cos^2\alpha \sin^2\beta=\color{red}1-\sin^2\alpha\sin^2\beta-\cos^2\alpha\cos^2\beta$・・・( iii )

( ii )と( iii ) の赤字部分が一致したので、↑( iii )の（右辺）を( ii )の赤字に代入します。

$\sin^2(\alpha-\beta)=\color{red}\sin^2\alpha \cos^2\beta +\cos^2\alpha \sin^2\beta\color{black}-2\cos\alpha\cos\beta\sin\alpha\sin\beta$

右辺を因数分解すると、

$\sin^2(\alpha-\beta)=(\sin\alpha \cos\beta -\cos\alpha \sin\beta)^2$

両辺ルートを取ると、

$\pm\sin(\alpha-\beta)=\pm(\sin\alpha \cos\beta -\cos\alpha \sin\beta)$

両辺、各$\pm$があるので4通り考えられる

下記4通りが成り立つ。

1より、$\sin(\alpha-\beta)=$$\sin\alpha \cos\beta -\cos\alpha \sin\beta$は導かれました。

2つ目の証明終了です。

（参考）2：$\sin(\alpha-\beta)=$$-(\sin\alpha \cos\beta -\cos\alpha \sin\beta)$の検証

$\sin(\alpha-\beta)=-(\sin\alpha \cos\beta -\cos\alpha \sin\beta)$
$\color{white}\sin(\alpha-\beta)\color{black}=-\sin\alpha \cos\beta +\cos\alpha \sin\beta)$

↑に$-\sin(\alpha)=\sin(-\alpha)$、$\cos(\alpha)=\cos(-\alpha)$（※$-\theta$についてはこちら＞）を代入すると、

$\sin(\alpha-\beta)=\sin(-\alpha) \cos\beta +\cos(-\alpha)\sin\beta$

$-\alpha$のときも$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha \cos\beta -\cos\alpha \sin\beta$が成り立つという式でした。

$\sin(\alpha+\beta)=$$\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$

まずは$cos$を$sin$に変換したいので下記「$90 ^{\circ}-\theta$と$\theta$の関係式」を使います。

$\cos(90 ^{\circ}-\theta)=\sin\theta$より、$\sin(\alpha+\beta)=\cos(90 ^{\circ}-(\alpha+\beta))$

$\sin(\alpha+\beta)=\cos\{90 ^{\circ}-(\alpha+\beta)\}$
$\color{white}\sin(\alpha+\beta)\color{black}=\cos\{(90 ^{\circ}-\alpha)-\beta)\}$・・・( iv )

ここで$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$より、$\alpha=90 ^{\circ}-\alpha$で考えると、

$\cos(\{90 ^{\circ}-\alpha\}-\beta)=\cos(90 ^{\circ}-\alpha)\cos\beta+\sin(90 ^{\circ}-\alpha)\sin\beta$

再び、上記「$90 ^{\circ}-\theta$と$\theta$の関係式」より、$\cos(90 ^{\circ}-\alpha)=\sin\alpha$、$\sin(90 ^{\circ}-\alpha)=\cos\alpha$なので、それぞれ代入すると、

$\cos(\{90 ^{\circ}-\alpha\}-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$・・・( v )

( iv )( v )より、$\sin(\alpha+\beta)=$$\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$

$\displaystyle \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}$

$tan$は定義より（参考はこちら）、

$\displaystyle \tan(\alpha-\beta)=\frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos(\alpha-\beta)}$

既に証明済みの加法定理より、$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$、$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha \cos\beta -\cos\alpha \sin\beta$を代入する

$\displaystyle \tan(\alpha-\beta)=\frac{\sin\alpha \cos\beta -\cos\alpha \sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta}$・・・( vi )

次に$\displaystyle \tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$より、$\displaystyle \sin\alpha=\tan\alpha\cos\alpha$、

同様に$\displaystyle \tan\beta=\frac{\sin\beta}{\cos\beta}$より、$\displaystyle \sin\beta=\tan\beta\cos\beta$、

これらを( vi )に代入します。

$\displaystyle \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha\cos\alpha \cos\beta -\cos\alpha \tan\beta\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta+\tan\alpha\cos\alpha\tan\beta\cos\beta}$

$\displaystyle \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}$

$\displaystyle \tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$

$tan$は定義より（参考はこちら）、

$\displaystyle \tan(\alpha+\beta)=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}$

既に証明済みの加法定理より、$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$、$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$を代入する

$\displaystyle \tan(\alpha+\beta)=\frac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}$・・・( vii )

次に$\displaystyle \tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$より、$\displaystyle \sin\alpha=\tan\alpha\cos\alpha$、

同様に$\displaystyle \tan\beta=\frac{\sin\beta}{\cos\beta}$より、$\displaystyle \sin\beta=\tan\beta\cos\beta$、

これらを( vi )に代入します。

$\displaystyle \tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha\cos\alpha\cos\beta+\cos\alpha\tan\beta\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta-\tan\alpha\cos\alpha\tan\beta\cos\beta}$

$\displaystyle \tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$

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