内積ってcosを使っても求められるの？

$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|\cos \mathrm{\angle }AOB$

このような公式を見たことがあります。

僕の内積の記憶は、$\overrightarrow{OA}=(a_1,a_2)$、$\overrightarrow{OB}=(b_1,b_2)$のとき、$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=a_1{b}_1+a_2{b}_2$でした。これを( i ) とおいておきます。

どうして内積が$|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|\cos \mathrm{\angle }AOB$でも表せるのか理解したいと思います。

$|\overrightarrow{OA}|$、$|\overrightarrow{OB}|$

まずは$|\overrightarrow{OA}|$と$|\overrightarrow{OB}|$を確認しておきます。

$|\overrightarrow{OA}|$

これは図で見ると簡単に分かります。

上記より、原点$O$から$A$までの長さ$|\overrightarrow{OA}|$は三平方の定理より、$|\overrightarrow{OA}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$・・・( ii )
※$A$の座標はプラスでもマイナスでも2乗するので大丈夫です

$|\overrightarrow{OB}|$

こちらも同様です。これは図で見ると簡単に分かります。

上記より、原点$O$から$B$までの長さ$|\overrightarrow{OB}|$は三平方の定理より、$|\overrightarrow{OB}|=\sqrt{b_1^2+b_2^2}$・・・( iii )
※$B$の座標はプラスでもマイナスでも2乗するので大丈夫です

$|\overrightarrow{AB}|$

線分$AB$の長さは2通りの方法で表すことができます。

1つは上の$|\overrightarrow{OA}|$、$|\overrightarrow{OB}|$と同じようにベクトル$\overrightarrow{AB}$から求める方法と、図の三角形$OAB$に対して余弦定理を使って求める2通りです。
関連記事：余弦定理の理解を深める

ベクトル$\overrightarrow{AB}$から$|\overrightarrow{AB}|$を求める

$\overrightarrow{AB}=(b_1,b_2)–(a_1,a_2)$

$=(b_1-a_1,b_2-a_2)$

$\overrightarrow{AB}=(b_1-a_1,b_2-a_2)$より、

$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(b_1-a_1{)}^2+(b_2-a_2{)}^2}$

$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{b_1^2-2a_1{b}_1+a_1^2+b_2^2-2a_2{b}_2+a_2^2}$・・・( iv )

余弦定理より$|\overrightarrow{AB}|$を求める

上図より、$|\overrightarrow{AB}|$は余弦定理から求められます。

$|\overrightarrow{AB}{|}^2=|\overrightarrow{OA}{|}^2+|\overrightarrow{OB}{|}^2–2|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|\cos \mathrm{\angle }AOB$

$|\overrightarrow{OA}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$、$|\overrightarrow{OB}|=\sqrt{b_1^2+b_2^2}$を代入すると、

$|\overrightarrow{AB}{|}^2=a_1^2+a_2^2+b_1^2+b_2^2–2\sqrt{a_1^2+a_2^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2}\cos \mathrm{\angle }AOB$・・・( v )

( v )に( iv )を代入すると、

$b_1^2-2a_1{b}_1+a_1^2+b_2^2-2a_2{b}_2+a_2^2$$=a_1^2+a_2^2+b_1^2+b_2^2–2\sqrt{a_1^2+a_2^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2}\cos \mathrm{\angle }AOB$

$a_1{b}_1+a_2{b}_2=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2}\cos \mathrm{\angle }AOB$

ここで、( i ) $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=a_1{b}_1+a_2{b}_2$、( ii )$|\overrightarrow{OA}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$、( iii )$|\overrightarrow{OB}|=\sqrt{b_1^2+b_2^2}$より、

$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|\cos \mathrm{\angle }AOB$

理解しようとしていた公式そのものになりました。

まとめ

一方は三平方の定理から長さを求めて、もう一方は余弦定理から求める。そうすると、内積が各長さとその間の$\cos$の値で求められることが分かりました。

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キーワード

気になる人は調べてみてね。

ベクトル、内積、余弦定理、三平方の定理、絶対値