#2 P⇔Q（同値）について

このページのまとめ

1. $(P\to Q)\wedge (Q\to P)$を$P\leftrightarrow Q$（同値）と書く
2. 命題$P$、$Q$が同値であるとは、$P$と$Q$がともに「真」、または、ともに「偽」ということ
3. 同値は$P\leftrightarrow P$が常に成り立つ（反射律）
4. 同値は$(P\leftrightarrow Q)\to (Q\leftrightarrow P)$が常に成り立つ（対象律）
5. 同値は$\{(P\leftrightarrow Q)\wedge (Q\leftrightarrow R)\}\to (P\leftrightarrow R)$が常に成り立つ（推移律）

$P\leftrightarrow Q$（同値）とは

命題$P$、$Q$に対して、$(P\to Q)\wedge (Q\to P)$を$P\leftrightarrow Q$（同値）と書きます。

$P\leftrightarrow Q$の真理値表

$(P\to Q)\wedge (Q\to P)$を$P\leftrightarrow Q$（同値）と書くので、同値の真理値表も同じく下記になります。

参考リンク

• $P\leftrightarrow Q$（同値）の真理値表を求めよ ＞

$P\leftrightarrow Q$が成り立つとは？

命題$P$、$Q$が同値であるとは、$P\leftrightarrow Q$が「真」であるということです。

真理値表の「真」となるパターンを確認すると、$P$、$Q$ともに「真」、またはともに「偽」であるということが分かります。

つまり、$P\leftrightarrow Q$が成り立つとき、$P$が「真」と分かれば、$Q$が「真」であることが分かります。さらに、$Q$が「真」と分かれば、$P$が「真」も言えます。
※対称律が成り立つので$P$と$Q$を入れ替えれます（後で書きます）

同様に、$P$が「偽」と分かれば、$Q$が「偽」であることが分かりますし、$Q$が「偽」と分かれば、$P$が「偽」も言えます。

これは証明する上で、とても役に立ちそうです。

同値の性質

同値には反射律、対象律、推移律といった性質があります。

反射率（$P\leftrightarrow P$）

$P\leftrightarrow P$が$P$の真偽に関わらず常に「真」となります。よって、$P\leftrightarrow P$は必ず成り立ちます、これを反射率と言います。

また、このように$P$の真偽に関わらず常に「真」になる論理式を恒真式（トートロージー）と言います。

対象律（$(P\leftrightarrow Q)\to (Q\leftrightarrow P)$）

$(P\leftrightarrow Q)\to (Q\leftrightarrow P)$が$P$、$Q$の真偽に関わらずどのパターンでも常に「真」となります。よって、$(P\leftrightarrow Q)\to (Q\leftrightarrow P)$は必ず成り立ちます、これを対象率と言います。こちらも恒真式（トートロージー）です。

この対象律によって、$(P\leftrightarrow Q)\to (Q\leftrightarrow P)$は常に成り立つので、$P\leftrightarrow Q$であれば$Q\leftrightarrow P$が成り立ちます。

推移律（$\{(P\leftrightarrow Q)\wedge (Q\leftrightarrow R)\}\to (P\leftrightarrow R)$）

$\{(P\leftrightarrow Q)\wedge (Q\leftrightarrow R)\}\to (P\leftrightarrow R)$が$P$、$Q$、$R$の真偽に関わらずどのパターンでも常に「真」となります。よって、$\{(P\leftrightarrow Q)\wedge (Q\leftrightarrow R)\}\to (P\leftrightarrow R)$は必ず成り立ちます、これを推移率と言います。こちらも恒真式（トートロージー）です。

この推移律によって、$\{(P\leftrightarrow Q)\wedge (Q\leftrightarrow R)\}\to (P\leftrightarrow R)$は常に成り立つので、$(P\leftrightarrow Q)\wedge (Q\leftrightarrow R)$であれば$(P\leftrightarrow R)$が成り立ちます。

このページのまとめ

1. $(P\to Q)\wedge (Q\to P)$を$P\leftrightarrow Q$（同値）と書く
2. 命題$P$、$Q$が同値であるとは、$P$と$Q$がともに「真」、または、ともに「偽」ということ
3. 同値は$P\leftrightarrow P$が成り立つ（反射律）
4. 同値は$(P\leftrightarrow Q)\to (Q\leftrightarrow P)$が成り立つ（対象律）
5. 同値は$\{(P\leftrightarrow Q)\wedge (Q\leftrightarrow R)\}\to (P\leftrightarrow R)$が成り立つ（推移律）

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