【問題】P→Q（含意）の真理値表を示せ－数理論理学

【問題】$P \to Q$の真理値表を示せ

命題変数$P$、$Q$に対して論理式$P \to Q$の真理値表を示せ。

回答

命題変数$P$、$Q$はそれぞれ真（T）、偽（F）の2パターンがあります。よって、すべての組み合わせは「真と真」「真と偽」「偽と真」「偽と偽」になるため、その4通りを確認します。

また、$P \to Q$（PならばQ）は、命題$P$が「真」で命題$Q$が「偽」のときのみ「偽」、それ以外「真」となる論理式です。よって、真理値表は下記のようになります。

上表にて、$P \to Q$の真理値表が示せました。

Q.E.D.

備考

$\to$（含意）の意味を表にするだけの問題です。定義を表にしただけです。

ただし、$(P \to Q)$の真理値表は少し癖があります。下の「文章で考察」もあわせて見てみてください（結果を覚えてしまうのも有りです）。

文章で考察

命題Pが「私はジャンケンに負けた」、命題Qが「私はあなたにジュースを買う」とします。従って、$(P \to Q)$は「私がジャンケンに負けたならば、私はあなたにジュースを買う」となります。

それでは、4パターンとも確認してみましょう。

まず、P、Qともに「真」であれば、「私はジャンケンに負けた」ので「あなたにジュースを買う」となります。この場合、「私がジャンケンに負けたならば、私はあなたにジュースを買う」は正しい（約束通り）。よって真です。

次に、Pが「真」、Qが「偽」であれば、「私はジャンケンに負けた」が「あなたにジュースを買わない」となります。この場合、私はジャンケンに負けたにも関わらず「あなたにジュースを買わない」ので、「私がジャンケンに負けたならば、私はあなたにジュースを買う」というのは嘘になります。よって偽です。

また、Pが「偽」、Qが「真」であれば、「私はジャンケンに勝った」が「あなたにジュースを買う」となります。この場合、「私がジャンケンに負けたならば、私はあなたにジュースを買う」という文章におかしな点はありません。よって、偽ではないので真となります。「あなた」はジャンケンに負けたけど、「私」の気分が良かったせいか、幸運なことにジュースを買ってもらえるということです。

最後に、Pが「偽」、Qが「偽」であれば、「私はジャンケンに勝った」ので「あなたにジュースは買わない」となります。この場合、「私がジャンケンに負けたならば、私はあなたにジュースを買う」という文章におかしな点はありません。よって、偽ではないので真となります。「あなた」はジャンケンで負けたから、ジュースを買ってもらえないということです。これは理解しやすいと思います。

キーワード

気になる人は調べてみてね。

数理論理学、含意（$\to$）、命題変数、論理式、真理値表、Q.E.D.