令和2年センター本試＞数２Ｂ＞第1問 [2] (1)解いてみた

 

問題

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令和２年度本試験の問題｜大学入試センター

第１問 [２]（１）

$t$は正の実数で、$\displaystyle t^{\frac{1}{3}}-t^{-\frac{1}{3}}=-3$を満たす。これを( i )と置く。

$\displaystyle t^{\frac{2}{3}}+t^{-\frac{2}{3}}$は？

( i ) $\displaystyle t^{\frac{1}{3}}-t^{-\frac{1}{3}}=-3$より、両辺2乗すると、

$\displaystyle (t^{\frac{1}{3}}-t^{-\frac{1}{3}})^2=(-3)^2$

$\displaystyle t^{\frac{2}{3}}+t^{-\frac{2}{3}}=11$・・・( ii )

$\displaystyle t^{\frac{1}{3}}+t^{-\frac{1}{3}}$は？

$\displaystyle t^{\frac{1}{3}}+t^{-\frac{1}{3}}$を2乗すると、

$\displaystyle (t^{\frac{1}{3}}+t^{-\frac{1}{3}})^2$

2乗すると下記のようになる。
$\displaystyle t^{\frac{2}{3}}+2+t^{-\frac{2}{3}}$

ここで、( ii ) $\displaystyle t^{\frac{2}{3}}+t^{-\frac{2}{3}}=11$より
$\displaystyle 11+2=13$となる。

つまり、$\displaystyle t^{\frac{1}{3}}+t^{-\frac{1}{3}}$を2乗すると$13$になるので、
$\displaystyle t^{\frac{1}{3}}+t^{-\frac{1}{3}}=\pm\sqrt{13}$である。

$t$は正の実数なので、t^{\frac{1}{3}}$と$t^{-\frac{1}{3}}はともに正である。

よって、$\displaystyle t^{\frac{1}{3}}+t^{-\frac{1}{3}}=\sqrt{13}$・・・( iii )

$t-t^{-1}$は？

( i ) $\displaystyle t^{\frac{1}{3}}-t^{-\frac{1}{3}}=-3$と( iii )$\displaystyle t^{\frac{1}{3}}+t^{-\frac{1}{3}}=\sqrt{13}$の各辺を足すと、

$\displaystyle t^{\frac{1}{3}}-t^{-\frac{1}{3}}+t^{\frac{1}{3}}+t^{-\frac{1}{3}}=-3+\sqrt{13}$

$\displaystyle t=-18+5\sqrt{13}$

$t-t^{-1}$に$\displaystyle t=-18+5\sqrt{13}$を代入すると

$\displaystyle t-t^{-1}=-18+5\sqrt{13}-\frac{1}{-18+5\sqrt{13}}$

$\displaystyle t-t^{-1}=-36$

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