令和2年センター本試＞数２Ｂ＞第1問 [1] (1)解いてみた

 

第1問 [1] (2) ＞

問題

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令和２年度本試験の問題｜大学入試センター

第１問 [１]（１）

$0 \leq \theta < 2\pi$のとき
$\displaystyle \sin\theta > \sqrt{3}\cos(\theta -\frac{\pi}{3})$・・・①

加法定理を用いて

加法定理$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$より、

$\displaystyle \sqrt{3}\cos(\theta -\frac{\pi}{3})=\sqrt{3}(\cos\theta\cos\frac{\pi}{3}+\sin\theta\sin\frac{\pi}{3})$

$\displaystyle \sqrt{3}\cos(\theta -\frac{\pi}{3})=$$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta+\frac{3}{2}\sin\theta$・・・( i )

三角関数の合成を用いて

①より、$\displaystyle 0 > \sqrt{3}\cos(\theta -\frac{\pi}{3}) -\sin\theta$

( i )より、$\displaystyle 0 > \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta+\frac{3}{2}\sin\theta -\sin\theta$

$\displaystyle 0 > \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta+\frac{1}{2}\sin\theta$

ここで回答欄の$\displaystyle \sin(\theta + \frac{\pi}{エ})$は加法定理$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$より、

$\displaystyle \sin(\theta + \frac{\pi}{エ}) = \sin\theta \cos\frac{\pi}{エ}+\cos\theta \sin\frac{\pi}{エ}$

↑これと$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta+\frac{1}{2}\sin\theta$を比較すると、

$\displaystyle \sin\frac{\pi}{エ}= \frac{\sqrt{3}}{2}$、$\displaystyle \cos\frac{\pi}{エ}=\frac{1}{2}$の2式を満たす「エ」だと分かる。

よって、$\displaystyle \frac{\pi}{エ}=60^{\circ}=\frac{\pi}{3}$なので、「エ」は$3$。

※つまり、$\displaystyle \sin(\theta + \frac{\pi}{3}) < 0$

$\thetaの値の範囲は？$

$\displaystyle \sin(\theta + \frac{\pi}{3}) < 0$より$\displaystyle sin(\theta + \frac{\pi}{3})$がマイナスになるのは角度$\displaystyle \theta + \frac{\pi}{3}=\alpha$と置くと$180^{\circ}<\alpha<360^{\circ}$である。つまり、$\pi<\alpha<2\pi$。

※この範囲は単位円から考えれば容易にわかる。$sin$の値は$\displaystyle \frac{y座標}{半径}$なので、$y$座標がマイナスになる範囲を思い浮かべればよい

よって、$\displaystyle \pi<\theta + \frac{\pi}{3}<2\pi$となり、各辺から$\displaystyle \frac{\pi}{3}$を引くと、

$\displaystyle \pi-\frac{\pi}{3}<\theta<2\pi-\frac{\pi}{3}$

$\displaystyle \frac{2\pi}{3}<\theta<\frac{5\pi}{3}$

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