令和2年センター本試＞数２Ｂ＞第1問 [2] (2)解いてみた

 

問題

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令和２年度本試験の問題｜大学入試センター

第１問 [２]（２）

$x$、$y$は正の実数で、下記2つの連立不等式を満たす。

$\log_3(x\sqrt{y})\leq 5$・・・（２）

$\displaystyle \log_{81}\frac{y}{x^3}\leq 1$・・・（３）

$\log_3(x\sqrt{y})\leq 5$・・・（２）はどうなる？

$X=\log_3{x}$、$Y=\log_3{y}$とおくと、

$\log_3(x\sqrt{y})\leq 5$

$\displaystyle 2X + Y \leq 10$・・・（４）

$\displaystyle \log_{81}\frac{y}{x^3}\leq 1$・・・（３）はどうなる？

$\displaystyle \log_{81}\frac{y}{x^3}\leq 1$を少し変形すると、

$\displaystyle \log_{81}{y}-\log_{81}{x^3}\leq 1$

$\displaystyle \log_{81}{y}-3\log_{81}{x}\leq 1$・・・( i )

まず、$\log_{81}{y}$を？とすると、$81^?=y$である。少し変形すると、$81^?=(3^4)^?=3^{4?}=y$
また、$Y=\log_3{y}$より、$3^Y=y$である。

よって、2式を比較すると、$4?=Y$という関係が分かり、$\displaystyle ?=\frac{Y}{4}$が成り立つ。従って$\displaystyle \log_{81}{y}=\frac{Y}{4}$。

$x$も同様なので、$\displaystyle \log_{81}{x}=\frac{X}{4}$。

( i ) に$\displaystyle \log_{81}{y}=\frac{Y}{4}$、$\displaystyle \log_{81}{x}=\frac{X}{4}$を代入すると、
$\displaystyle \frac{Y}{4}-3\frac{X}{4}\leq 1$

両辺$4$倍すると、
$\displaystyle Y-3X\leq 4$

回答欄に合わせるために、両辺$-1$倍する※不等号の向きが変わる
$\displaystyle -Y+3X\geq -4$・・・（５）

（４）（５）を満たすとき$Y$の取り得る最大の整数の値は？

$\displaystyle 2X + Y \leq 10$・・・（４）
$\displaystyle -Y+3X\geq -4$・・・（５）

（４）の両辺を3倍したものを（４’）とする
$\displaystyle 6X + 3Y \leq 30$・・・（４’）

（５）の両辺を-2倍したものを（５’）とする※$-$の値を掛けるので不等号が反対になる
$\displaystyle 2Y – 6X \leq 8$・・・（５’）

以上より、（４’）と（５’）の各辺を足すと、
$\displaystyle 5Y\leq 38$
$\displaystyle Y\leq \frac{38}{5}=7.6$

よって、$Y$は$7.6$以下なので取り得る最大の整数は$7$

（４）（５）、$\log_3{y}=7$を満たすとき$x$の取り得る最大の整数の値は？

$\log_3{y}=7$は、$Y=7$なので、これを（４）（５）に代入すると、

$\displaystyle 2X + 7 \leq 10$
→$\displaystyle 2X \leq 3$
→$\displaystyle X \leq \frac{3}{2}$

$\displaystyle -7+3X\geq -4$
→$\displaystyle 3X \geq 3$
→$\displaystyle X\geq 1$

以上より、$\displaystyle 1\leq X = \log_3{x} \leq \frac{3}{2}$

ここで、$X = \log_3{x} $は下記のようなグラフになるので、$x$の値が大きくなれば、$\log_3{x}$も大きくなる。よって、$X$の最大値と最小値の$x$の値を見ることで$x$の範囲が分かる。

最小値$\log_3{x}=1$のとき、$x=3$

最大値$\displaystyle \log_3{x}=\frac{3}{2}$のとき、$x=3^{\frac{3}{2}}=\sqrt{3}^3=3\sqrt{3}$である。$3\sqrt{3}$は約$5.79$なので$x$は$6$より小さいことが分かる。

よって、$\displaystyle 3\leq x < 6$

従って、$x$の取り得る最大の整数の値は$5$

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