令和2年センター本試＞数２Ｂ＞第4問 (1)解いてみた

 

問題

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令和２年度本試験の問題｜大学入試センター

第４問 （１）

点$O$を原点とする座標空間に2点$A(3, \, 3, \, -6)$、$B(2+2\sqrt{3}, \, 2-2\sqrt{3}, \, -4)$をとる。3点$O$、$A$、$B$の定める平面を$\alpha$とする。

また$\alpha$に含まれる点$C$は$\overrightarrow{OA} \perp \overrightarrow{OC}$、$\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC}=24$・・・( i )を満たす。

簡単に図示すると…

$|\overrightarrow{OA} |$の値は？

$|\overrightarrow{OA} |$は点$A$から$z$軸（赤線）へ垂線を下ろしてできる交点を$E$とおくと出来る直角三角形$\bigtriangleup OAE$を考えると求まる。

まず、点$E$は点$A$から$z$軸に対して下ろした垂線との交点なので、$z$座標は$A$と等しい。よって、点$E$の座標は$(0, \, 0, \, -6)$である。従って$|\overrightarrow{OE}|=6$である。

次に$|\overrightarrow{AE}|$は$xy$平面で三平方の定理を使えばわかる。$xy$平面上で見れば、$OA$は$AE$と等しいので、$|\overrightarrow{AE}|^2=3^2+3^2=18$

$|\overrightarrow{OE}|=6$、$|\overrightarrow{AE}|^2=18$の2つが分かったので、三平方の定理より、

$|\overrightarrow{OA}|^2=|\overrightarrow{AE}|^2+|\overrightarrow{OE}|^2$

$|\overrightarrow{OA}|^2=18+6^2=54$

よって$|\overrightarrow{OA}|=\sqrt{54}=$$3\sqrt{6}$
※絶対値なので正のみ

$|\overrightarrow{OB} |$の値は？

$|\overrightarrow{OB} |$は点$B$から$z$軸（赤線）へ垂線を下ろしてできる交点を$F$とおくと出来る直角三角形$\bigtriangleup OBF$を考えると求まる。

まず、点$F$は点$B$から$z$軸に対して下ろした垂線との交点なので、$z$座標は$B$と等しい。よって、$F$の座標は$(0, \, 0, \, -4)$である。従って$|\overrightarrow{OF}|=4$である。

次に$|\overrightarrow{BF}|$は$xy$平面で三平方の定理を使えばわかる。$xy$平面上で見れば、$OB$は$BF$と等しいので、$|\overrightarrow{BF}|^2=(2+2\sqrt{3})^2+(2-2\sqrt{3})^2=4+12+4+12=32$

$|\overrightarrow{OF}|=4$、$|\overrightarrow{BF}|^2=32$の2つが分かったので、三平方の定理より、

$|\overrightarrow{OB}|^2=|\overrightarrow{BF}|^2+|\overrightarrow{OF}|^2$

$|\overrightarrow{OB}|^2=32+4^2=48$

よって$|\overrightarrow{OB}|=\sqrt{48}=$$4\sqrt{3}$
※絶対値なので正のみ

$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}$の値は？

$A(3, \, 3, \, -6)$、$B(2+2\sqrt{3}, \, 2-2\sqrt{3}, \, -4)$なので、内積の定義（各成分の積の和）より、

$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 3(2+2\sqrt{3}) + 3(2-2\sqrt{3}) + -6 \cdot -4$

$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 36$

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