令和2年センター本試＞数２Ｂ＞第3問 (1)～(2)解いてみた

 

問題

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令和２年度本試験の問題｜大学入試センター

第３問 （１）

数列$\{a_n\}$は、初項$a_1$が$0$で、$n=1,2,3,\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・}$のとき次の漸化式を満たす。

（１）$a_2$の値は？

これは ( i ) に$n=1$を代入すればよい。

$a_1=0$なので、計算しつつ代入すると、
${\displaystyle a_2=2(0+9-6)=6}$

第３問（２）

※とにかく計算だらけですm(__)m

${\displaystyle b_n=\frac{a_n}{3^n(n+1)(n+2)}}$とおく。

$\{b_n\}$の初項$b_1$は？

${\displaystyle b_n=\frac{a_n}{3^n(n+1)(n+2)}}$に$n=1$を代入すればよい。

${\displaystyle b_1=\frac{a_1}{3^1(1+1)(1+2)}}$

$a_1=0$、つまり分母が$0$なので${\displaystyle b_1=0}$

$b_{n+1}$は？

${\displaystyle b_n=\frac{a_n}{3^n(n+1)(n+2)}}$の$n$を$n+1$にすると、

${\displaystyle b_{n+1}=\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}(n+2)(n+3)}}$・・・( ii ) となる。

この式を変形していくと、左辺を( ii ) の右辺${\displaystyle \frac{a_{n+1}}{3^{n+1}(n+2)(n+3)}}$の形にできそうである。

( ii )${\displaystyle b_{n+1}=\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}(n+2)(n+3)}}$より、

${\displaystyle b_{n+1}=\frac{3a_n+3^{n+1}-(n+1)(n+2)}{3^{n+1}(n+1)(n+2)}}$

続いてこの右辺を変形して、回答の形にしていく

${\displaystyle b_{n+1}=b_n+\frac{1}{(n+1)(n+2)}-(\frac{1}{3}{)}^{n+1}}$・・・( iii )

$b_{n+1}-b_n$は？

( iii )${\displaystyle b_{n+1}=b_n+\frac{1}{(n+1)(n+2)}-(\frac{1}{3}{)}^{n+1}}$の$b_n$を左辺に移すと、

${\displaystyle b_{n+1}-b_n=\frac{1}{(n+1)(n+2)}-(\frac{1}{3}{)}^{n+1}}$

回答より、${\displaystyle \frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{x}{n+1}-\frac{x}{n+2}}$となれば良いので、（※$x=$キ）

よって、$x$つまり「キ」は$1$なので、

${\displaystyle b_{n+1}-b_n=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}-(\frac{1}{3}{)}^{n+1}}$・・・( iv )

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2})}$は？

$n$は$2$以上の自然数とするので、

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2})}$

下図のように打ち消しあっていくので、

残るのは、

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2})=\frac{1}{2}(\frac{n-1}{n+1})}$・・・( v )

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}(\frac{1}{3}{)}^{k+1}}$は？

$n$は$2$以上の自然数とするので、

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}(\frac{1}{3}{)}^{k+1}}$

↑これは初項${\displaystyle \frac{1}{9}}$、公比${\displaystyle \frac{1}{3}}$、項数$n-1$の和なので、

${\displaystyle \frac{\frac{1}{9}(1-(\frac{1}{3}{)}^{n-1})}{1-\frac{1}{3}}}$

※等比数列の和${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a{r}^{k-1}=\frac{a(1-r^n)}{1-r}}$の求め方はこちら>

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}(\frac{1}{3}{)}^{k+1}=\frac{1}{6}-\frac{1}{2}(\frac{1}{3}{)}^n}$・・・( vi )

$b_n$は？

( iv )${\displaystyle b_{n+1}-b_n=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}-(\frac{1}{3}{)}^{n+1}}$より、

${\displaystyle b_{n+1}=b_n+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}-(\frac{1}{3}{)}^{n+1}}$

ここで${\displaystyle c_n=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}}$、${\displaystyle d_n=(\frac{1}{3}{)}^{n+1}}$とおくと、

${\displaystyle b_n=b_{n-1}+c_{n-1}-d_{n-1}}$

同様に${\displaystyle b_{n-1}=b_{n-2}+c_{n-2}-d_{n-2}}$なので、

同様に同じ操作を$n=1$になるまで続けると、

${\displaystyle =b_1+\sum _{k=1}^{n-1}(c_k)-\sum _{k=1}^{n-1}(d_k)}$

${\displaystyle b_1=0}$、( v ) ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2})=\frac{1}{2}(\frac{n-1}{n+1})}$、( vi )${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}(\frac{1}{3}{)}^{k+1}=\frac{1}{6}-\frac{1}{2}(\frac{1}{3}{)}^n}$より、

${\displaystyle b_n=\frac{1}{2}(\frac{n-1}{n+1})-(\frac{1}{6}-\frac{1}{2}(\frac{1}{3}{)}^n)}$

${\displaystyle b_n=\frac{n-2}{3(n+1)}+\frac{1}{2}(\frac{1}{3}{)}^n}$

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