令和2年センター本試＞数１A＞第4問 解いてみた

 

問題

問題は下記を開いてご確認ください。

令和２年度本試験の問題｜大学入試センター

第4問 (1)

$x=2.\dot 3 \dot 6$のとき、

$100x – x=236.\dot 3 \dot 6 – 2.\dot 3 \dot 6$

$\displaystyle x=\frac{26}{11}$

たまたまですが、「無限小数 0.999…=1。簡単に証明できます。」という記事と似た内容でした（笑）

第4問 (2)

$49y \, – \, y = 2ab.\dot a \dot b_{(7)}- 2.\dot a \dot b_{(7)}$

7進法でも小数点以下が消えるのは同じですので、先ほどと同じように計算する。

$48y = 2ab_{(7)} – 2_{(7)}$・・・( A )

7進数を10進数に変換

ここで、$2ab_{(7)}$と$2_{(7)}$を10進数に変換します。

$2ab_{(7)}$を10進数に変換

$2ab_{(7)}=2\times 7^2 + a\times 7^1 + b \times 7^0$

$2ab_{(7)}=98 + 7a + b$・・・( B )

$2_{(7)}$を10進数に変換

$2_{(7)}=2 \times 7^0=2$・・・( C )

( A )$48y = 2ab_{(7)} – 2_{(7)}$に上記( B ) ( C )を代入すると、
$48y = 98 + 7a + b – 2$

$\displaystyle y = \frac{96 + 7a + b}{48}$

第4問 (2) ( i )

$\displaystyle y = \frac{96 + 7a + b}{48}$

$y$が、分子が奇数で分母が$4$である分数で表されるのは？

問題から、「分子が奇数」で「分母が$4$」だと分かる。

$96 + 7a + b$の範囲

問題より、$96 + 7a + b$の$a$、$b$の範囲は$0 \leq a \leq 6$、$0 \leq b \leq 6$である。

$0 \leq a \leq 6$より、$7a$の範囲は$0 \leq 7a \leq 42$となる。

$7a$と$b$の範囲の各辺を足すと、
$0 \leq 7a+b \leq 48$

さらに、この式の各辺に$96$を足せば、$96 + 7a + b$の範囲は下記のとおりである。
$96 \leq 96+7a+b \leq 144$

分母が$4$より

分母が$4$であることから、$\displaystyle y = \frac{96 + 7a + b}{48}$の分母$48$が12で割って約分されたことが分かる。その際に分子も$12$で割られたはずなので、約分後の分子は$\displaystyle \frac{96 + 7a + b}{12}$である。

上記で求めた$96 \leq 96+7a+b \leq 144$より、$\displaystyle \frac{96}{12}  \leq \frac{96+7a+b}{12} \leq \frac{144}{12}$

これを計算すると、分子の範囲が$\displaystyle 8 \leq \frac{96+7a+b}{12} \leq 12$と分かる。

よって、分子は$8$, $9$, $10$, $11$, $12$のいずれかである。もう一つの条件「分子は奇数」より、$9$, $11$となる。

$\displaystyle y=\frac{9}{4}$または$\displaystyle y=\frac{11}{4}$

$7 \times a + b $の値は？

$\displaystyle y = \frac{96 + 7a + b}{48}$なので、$\displaystyle y=\frac{11}{4}$を代入すると、

$\displaystyle \frac{11}{4} = \frac{96 + 7a + b}{48}$

$7a + b = 36$

$a$、$b$の値は？

$7a + b = 36$とは、$36$を$7$進数で表せれば良いので、$36$を$7$で割っていけばよい。

$36 \div 7 = 5・・・1$なので、$36 = 5 \times 7^1 + 1 \times 7^0$となる。※$36$を$7$進数で書くと「51」ということ

よって、$a = 5$、$b=1$

第4問 (2) ( ii )

$y-2$は分子が$1$で分母が$2$以上の整数である分数で表されるとする。
このような$y$の個数は？

$y-2$を求める

$\displaystyle y = \frac{96 + 7a + b}{48}$なので、$y-2$は

$\displaystyle y-2 = \frac{96 + 7a + b}{48} \, – \, 2$

$\displaystyle y-2 = \frac{7a + b}{48}$

分母が$2$以上の整数より

$\displaystyle y-2 = \frac{7a + b}{48}$

の分母$48$が$2$以上の整数ということは、$48$を除く$48$の約数（$1$、$2$、$3$、$4$、$6$、$8$、$12$、$16$、$24$）で約分されるということである。

よって、分母の取りうる値は、$48$を$48$を除く$48$の約数（$1$、$2$、$3$、$4$、$6$、$8$、$12$、$16$、$24$）で割った値である。

従って、分母は$48$、$24$、$16$、$12$、$8$、$6$、$4$、$3$、$2$の計9パターン考えられる。

 

分子が$1$より

分母は$48$、$24$、$16$、$12$、$8$、$6$、$4$、$3$、$2$の計9パターン考えられる。

分子は$1$なので、考えられる分数は$\displaystyle \frac{1}{48}$、$\displaystyle \frac{1}{24}$、$\displaystyle \frac{1}{16}$、$\displaystyle \frac{1}{12}$、$\displaystyle \frac{1}{8}$、$\displaystyle \frac{1}{6}$、$\displaystyle \frac{1}{4}$、$\displaystyle \frac{1}{3}$、$\displaystyle \frac{1}{2}$の9パターン考えられる。

ここで分母を$48$に戻すと、
$\displaystyle \frac{1}{48}$、$\displaystyle \frac{2}{48}$、$\displaystyle \frac{3}{48}$、$\displaystyle \frac{4}{48}$、$\displaystyle \frac{6}{48}$、$\displaystyle \frac{8}{48}$、$\displaystyle \frac{12}{48}$、$\displaystyle \frac{16}{48}$、$\displaystyle \frac{24}{48}$となる。

これらの各分子は$7a + b$（$a \neq b$）を満たすので、条件$a \neq b$より、分子$7a+b$は8の倍数にはならない。

従って、分子が$8$の倍数である\displaystyle \frac{8}{48}$、$\displaystyle \frac{16}{48}$、$$\displaystyle \frac{24}{48}$の3パターンは対象外となるので、分子が$1$で分母が$2$以上の整数である分数で表されるような$y$は$9-3=6$個である。

 

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