- 問題の解答例など解法は見ずに解いています。覚えていない部分は学習はしますが、直接問題の解き方は調べていません。
よって、順当な解法かは分かりませんが、何か参考になれば幸いです - なるべく細かく書くようにしています。不明点はコメントいただければ嬉しいです
- また、正解かどうかのチェックは行い、正解にはなっています
問題
問題は下記を開いてご確認ください。
第4問 (1)
$x=2.\dot 3 \dot 6$のとき、
$100x – x=236.\dot 3 \dot 6 – 2.\dot 3 \dot 6$
$100x – x=236.\dot 3 \dot 6 – 2.\dot 3 \dot 6$
$99x=234$
$\displaystyle x=\frac{234}{99}$
$\displaystyle x=\frac{26}{11}$
$\displaystyle x=\frac{26}{11}$
たまたまですが、「無限小数 0.999…=1。簡単に証明できます。」という記事と似た内容でした(笑)
第4問 (2)
$49y \, – \, y = 2ab.\dot a \dot b_{(7)}- 2.\dot a \dot b_{(7)}$
7進法でも小数点以下が消えるのは同じですので、先ほどと同じように計算する。
$49y \,-\, y = 2ab.\dot a \dot b_{(7)} – 2.\dot a \dot b_{(7)}$
$48y = 2ab_{(7)} – 2_{(7)}$
$48y = 2ab_{(7)} – 2_{(7)}$・・・( A )
7進数を10進数に変換
ここで、$2ab_{(7)}$と$2_{(7)}$を10進数に変換します。
$2ab_{(7)}$を10進数に変換
$2ab_{(7)}=2\times 7^2 + a\times 7^1 + b \times 7^0$
$2ab_{(7)}=2\times 7^2 + a\times 7^1 + b \times 7^0$
$2ab_{(7)}=98 + 7a + b$
$2ab_{(7)}=98 + 7a + b$・・・( B )
$2_{(7)}$を10進数に変換
$2_{(7)}=2 \times 7^0=2$・・・( C )
( A )$48y = 2ab_{(7)} – 2_{(7)}$に上記( B ) ( C )を代入すると、
$48y = 98 + 7a + b – 2$
$48y = 98 + 7a + b – 2$
$\displaystyle y = \frac{96 + 7a + b}{48}$
$\displaystyle y = \frac{96 + 7a + b}{48}$
第4問 (2) ( i )
$\displaystyle y = \frac{96 + 7a + b}{48}$
$y$が、分子が奇数で分母が$4$である分数で表されるのは?
問題から、「分子が奇数」で「分母が$4$」だと分かる。
$96 + 7a + b$の範囲
問題より、$96 + 7a + b$の$a$、$b$の範囲は$0 \leq a \leq 6$、$0 \leq b \leq 6$である。
$0 \leq a \leq 6$より、$7a$の範囲は$0 \leq 7a \leq 42$となる。
$7a$と$b$の範囲の各辺を足すと、
$0 \leq 7a+b \leq 48$
$a=b$とすると、$7a+b=7a+a=8a$となる。つまり、8の倍数である。
条件は$a \neq b$なので、$7a+b$は8の倍数ではないとなります。注意が必要ですね。
さらに、この式の各辺に$96$を足せば、$96 + 7a + b$の範囲は下記のとおりである。
$96 \leq 96+7a+b \leq 144$
分母が$4$より
分母が$4$であることから、$\displaystyle y = \frac{96 + 7a + b}{48}$の分母$48$が12で割って約分されたことが分かる。その際に分子も$12$で割られたはずなので、約分後の分子は$\displaystyle \frac{96 + 7a + b}{12}$である。
上記で求めた$96 \leq 96+7a+b \leq 144$より、$\displaystyle \frac{96}{12} \leq \frac{96+7a+b}{12} \leq \frac{144}{12}$
これを計算すると、分子の範囲が$\displaystyle 8 \leq \frac{96+7a+b}{12} \leq 12$と分かる。
よって、分子は$8$, $9$, $10$, $11$, $12$のいずれかである。もう一つの条件「分子は奇数」より、$9$, $11$となる。
$\displaystyle y=\frac{9}{4}$または$\displaystyle y=\frac{11}{4}$
$7 \times a + b $の値は?
$\displaystyle y = \frac{96 + 7a + b}{48}$なので、$\displaystyle y=\frac{11}{4}$を代入すると、
$\displaystyle \frac{11}{4} = \frac{96 + 7a + b}{48}$
$\displaystyle \frac{11}{4} = \frac{96 + 7a + b}{48}$
$\displaystyle \frac{11 \times 48}{4} = 96 + 7a + b$
$11 \times 12 = 96 + 7a + b$
$96 + 7a + b = 11 \times 12 $
$7a + b = 11 \times 12 \, – \, 96$
$7a + b = 12(11 – 8) = 36$
$7a + b = 36$
$a$、$b$の値は?
$7a + b = 36$とは、$36$を$7$進数で表せれば良いので、$36$を$7$で割っていけばよい。
$36 \div 7 = 5・・・1$なので、$36 = 5 \times 7^1 + 1 \times 7^0$となる。※$36$を$7$進数で書くと「51」ということ
よって、$a = 5$、$b=1$
第4問 (2) ( ii )
$y-2$は分子が$1$で分母が$2$以上の整数である分数で表されるとする。
このような$y$の個数は?
$y-2$を求める
$\displaystyle y = \frac{96 + 7a + b}{48}$なので、$y-2$は
$\displaystyle y-2 = \frac{96 + 7a + b}{48} \, – \, 2$
$\displaystyle y-2 = \frac{96 + 7a + b}{48} – 2$
$\displaystyle y-2 = \frac{96 + 7a + b}{48} -\frac{96}{48}$
$\displaystyle y-2 = \frac{7a + b}{48}$
$\displaystyle y-2 = \frac{7a + b}{48}$
分母が$2$以上の整数より
$\displaystyle y-2 = \frac{7a + b}{48}$
の分母$48$が$2$以上の整数ということは、$48$を除く$48$の約数($1$、$2$、$3$、$4$、$6$、$8$、$12$、$16$、$24$)で約分されるということである。
$48$で割ると、分母が$1$になってしまう。すると、「分母が$2$以上の整数」を満たさないので除外する。
よって、分母の取りうる値は、$48$を$48$を除く$48$の約数($1$、$2$、$3$、$4$、$6$、$8$、$12$、$16$、$24$)で割った値である。
従って、分母は$48$、$24$、$16$、$12$、$8$、$6$、$4$、$3$、$2$の計9パターン考えられる。
分子が$1$より
分母は$48$、$24$、$16$、$12$、$8$、$6$、$4$、$3$、$2$の計9パターン考えられる。
分子は$1$なので、考えられる分数は$\displaystyle \frac{1}{48}$、$\displaystyle \frac{1}{24}$、$\displaystyle \frac{1}{16}$、$\displaystyle \frac{1}{12}$、$\displaystyle \frac{1}{8}$、$\displaystyle \frac{1}{6}$、$\displaystyle \frac{1}{4}$、$\displaystyle \frac{1}{3}$、$\displaystyle \frac{1}{2}$の9パターン考えられる。
ここで分母を$48$に戻すと、
$\displaystyle \frac{1}{48}$、$\displaystyle \frac{2}{48}$、$\displaystyle \frac{3}{48}$、$\displaystyle \frac{4}{48}$、$\displaystyle \frac{6}{48}$、$\displaystyle \frac{8}{48}$、$\displaystyle \frac{12}{48}$、$\displaystyle \frac{16}{48}$、$\displaystyle \frac{24}{48}$となる。
これらの各分子は$7a + b$($a \neq b$)を満たすので、条件$a \neq b$より、分子$7a+b$は8の倍数にはならない。
$a=b$とすると、$7a+b=7a+a=8a$となる。つまり、8の倍数である。
条件は$a \neq b$なので、$7a+b$は8の倍数ではないということに注意が必要。
従って、分子が$8$の倍数である\displaystyle \frac{8}{48}$、$\displaystyle \frac{16}{48}$、$$\displaystyle \frac{24}{48}$の3パターンは対象外となるので、分子が$1$で分母が$2$以上の整数である分数で表されるような$y$は$9-3=6$個である。
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