令和2年センター本試＞数２Ｂ＞第2問 (4)解いてみた

 

問題

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令和２年度本試験の問題｜大学入試センター

第２問 （４）

前回、前々回より、分かっていることは、

• $C$と直線$l$、および直線$x=a$で囲まれた図形の面積$S$：$\displaystyle S=\frac{a^3}{3}$
• 2つの放物線$C$、$D$と直線$l$で囲まれた図形の中で$0 \leq x\leq 1$を満たす部分の面積$T$
  $a > 1$のとき$\displaystyle T=\frac{1}{3}$
  $\displaystyle \frac{1}{2} < a \leq 1$のとき$\displaystyle  T = -2a^3+4a^2-2a+\frac{1}{3}$

$U$は$a=?$で最大値いくらになる？

$U=2T-3S$とおく。

$a$は$\displaystyle \frac{1}{2} < a \leq 1$の範囲を動くときという条件があるので、

• $\displaystyle S=\frac{a^3}{3}$
• $\displaystyle  T = -2a^3+4a^2-2a+\frac{1}{3}$

よって、$U=2T-3S$は、

$\displaystyle U=2(-2a^3+4a^2-2a+\frac{1}{3})-3(\frac{a^3}{3})$

$\displaystyle U=-5a^3+8a^2-4a+\frac{2}{3}$

増減を知るために微分する。微分すると点ごとの傾きが分かる。
$\displaystyle U’=-15a^2+16a-4$

傾きが$0$となる部分が分かれば、どこで増減が切り替わるか分かる。
$\displaystyle -15a^2+16a-4 = 0$

増減が切り替わるのは、$\displaystyle a=\frac{2}{3} $または$\displaystyle \frac{2}{5} $である。$a$は$\displaystyle \frac{1}{2} < a \leq 1$で$\displaystyle a=\frac{2}{3} $は範囲内である。$\displaystyle a=\frac{2}{3} $での切り替わりが山か谷か調べるために、$a=1$と$\displaystyle a=\frac{2}{3} $を調べる。

$a=1$を代入

$\displaystyle U=-5a^3+8a^2-4a+\frac{2}{3}$に$a=1$を代入すると、

$\displaystyle U=-5+8-4+\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}$

$\displaystyle a=\frac{2}{3} $を代入

$\displaystyle U=-5a^3+8a^2-4a+\frac{2}{3}$に$\displaystyle a=\frac{2}{3} $を代入すると、

$\displaystyle U=-5(\frac{2}{3})^3+8(\frac{2}{3})^2-4(\frac{2}{3})+\frac{2}{3}$

$\displaystyle U=\frac{2}{27}$

よって、$\displaystyle -\frac{1}{3}$より$\displaystyle \frac{2}{27}$の方が大きので、$\displaystyle a=\frac{2}{3} $が山だと分かった。

従って、$U$は$\displaystyle a=\frac{2}{3} $で最大値$\displaystyle \frac{2}{27}$をとる。

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