正しく証明・計算の結果が学術的に本当に正しいかどうかは保証できません…ご了承くださいm(__)m
学生の方であれば、疑問に思ったところなどは教授・助教授、その他周りの方に確認してくださいね。
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【問題】$P \leftrightarrow Q$の真理値表を求めよ
命題変数$P$、$Q$に対して$P \leftrightarrow Q$の真理値表を求めよ。
回答
命題変数$P$、$Q$はそれぞれ真（T）、偽（F）の2パターンがあります。よって、すべての組み合わせは「真と真」「真と偽」「偽と真」「偽と偽」になるため、その4通りを確認します。
また、$P \leftrightarrow Q$とは$(P \to Q) \land (Q \to P)$のことなので真理値表は下記のようになります。
| $P$ | $Q$ | $P \to Q$ | $Q \to P$ | $(P \to Q) \land (Q \to P)$ |
|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T |
| T | F | F | T | F |
| F | T | T | F | F |
| F | F | T | T | T |
※参考：$P \to Q$の真理値表を求めよ
※参考：$P \land Q$の真理値表を求めよ
$(P \to Q) \land (Q \to P)$は$P \leftrightarrow Q$なので、表を整理すると、下記のようになります。
| $P$ | $Q$ | $P \leftrightarrow Q$ |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | F |
| F | F | T |
上表にて、$P \leftrightarrow Q$の真理値表が求められました。
Q.E.D.
備考
$(P \to Q)$と$(P \land Q)$の真理値表を組み合わせることで示せました。
同値（$\leftrightarrow$）の特徴は論理式A、Bが$A \leftrightarrow B$のとき、A、Bがともに「真」または「偽」のときに$A \leftrightarrow B$が「真」になるということです。
キーワード
気になる人は調べてみてね。
数理論理学、同値（$\leftrightarrow$）、含意（$\to$）、論理積（$\land$）、命題変数、論理式、真理値表、Q.E.D.
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