正しく証明・計算の結果が学術的に本当に正しいかどうかは保証できません…ご了承くださいm(__)m
学生の方であれば、疑問に思ったところなどは教授・助教授、その他周りの方に確認してくださいね。
もし、コメント等でご指摘いただければ有難いです。
二次方程式から解の公式を導きたい
なんともややこしい形をした解の公式$\displaystyle x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}$
この解の公式は二次方程式$ax^2+bx+c=0$の$x$の解を求めることができます。
ふと、二次方程式から解の公式を導きたいなと思うことがあります。ですが、どうやるんだっけかなと、解けないことが…、
そこで、迷路やあみだくじを反対から辿るように、解の公式の方を変形してみると解き方が分かりました。その手順を見てみたいと思います。
二次方程式から解の公式を計算できる方法を経験しておけば、もし解の公式を忘れてしまっても、自分で計算して思い出せるかもしれません。
試験でも、もしものときは、他の問題を解いた後で、二次方程式から思い出してみてください。
解の公式から二次方程式に変換
まず、分数やルートを無くしていきます。
$\displaystyle x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}$
（両辺）に$2a$を掛ける
$\displaystyle 2ax=-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}$
（両辺）に$b$を足す
$\displaystyle 2ax + b= \pm \sqrt{b^2 -4ac}$
ルートを外したいので（両辺）を二乗する。
※「$\pm$」は「$+$」でも「$-$」でも二乗すれば「$+$」になります
※二項定理の$n=2$より、$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$
計算を進めます。（両辺）からb^2を引いて、$4a$で割る
$\color{blue} \displaystyle ax^2+bx=-c$・・・（２）
最後に（両辺）に$c$を足すと、
$\displaystyle ax^2+bx+c=0$
二次方程式の形になりました。
二次方程式の形に変換する間に、二次方程式から解の公式を導くために役に立つ情報がありました。
二次方程式から解の公式を導くには
- 上の青字（２）の式から、一辺に$x$を集めること
- 上の赤字（１）の式から、$(x+y)^2$という形にしたい、つまり、(x+y)^2$を展開した形に変形していくと良い
二次方程式から解の公式を求める
この形に寄せていく方法で解いたのが、こちらです。ただ、これは解の公式から逆算した、解の公式アリきの解き方です。
もう一つが解の公式ありきではないと思います。理解するならこちらの方が良いと思います。
過去も現在も、なぜか解の公式自体を求めたいと思うことがたまにありましたが、今回記事にしたので、忘れることはないのかなと…
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