正しく証明・計算の結果が学術的に本当に正しいかどうかは保証できません…ご了承くださいm(__)m
学生の方であれば、疑問に思ったところなどは教授・助教授、その他周りの方に確認してくださいね。
もし、コメント等でご指摘いただければ有難いです。
【問題】二次方程式から解の公式を求める
二次方程式$ax^2+bx+c=0 \, (a \neq 0)$から解の公式$\displaystyle x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}$を導け
二次方程式から解の公式を計算できる方法を経験しておけば、もし解の公式を忘れてしまっても、自分で計算して思い出せるかもしれません。
試験でも、もしものときは、他の問題を解いた後で、二次方程式から思い出してみてください。
回答
$ax^2+bx+c=0$
$x$を（左辺）にまとめるために、（両辺）から$c$を引く、
$ax^2+bx=-c$
（左辺）を$(x+y)^2$の形にしたい
今回は$x=2ax, \, y=b$だと考えればよく、$(2ax+b)^2=4a^2x^2 + 2axb +b^2$となり、（左辺）をこの形に変換する
よって、両辺に$4a$を掛ける、
$4a^2x^2+4abx=-4ac$
続いて両辺に$b^2$を足す
$4a^2x^2+4abx+b^2=b^2-4ac$
左辺は二項定理より、$(2ax+b)^2=4a^2x^2 + 2axb +b^2$なので、
$(2ax+b)^2=b^2-4ac$
両辺ルートをとる、
$2ax+b=\pm \sqrt{b^2-4ac}$
両辺から$b$を引いて、$2a$で割ると、
$\displaystyle x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}$
二次方程式$ax^2+bx+c=0 \, (a \neq 0)$から解の公式$\displaystyle x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}$を求めることができました。
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