- 問題の解答例など解法は見ずに解いています。覚えていない部分は学習はしますが、直接問題の解き方は調べていません。
よって、順当な解法かは分かりませんが、何か参考になれば幸いです - なるべく細かく書くようにしています。不明点はコメントいただければ嬉しいです
- また、正解かどうかのチェックは行い、正解にはなっています
問題
問題は下記を開いてご確認ください。
第2問 [1]
$\bigtriangleup ABC$において、$BC=2\sqrt{2}$ 、$\angle ACB$の二等分線と辺$AB$の交点を$D$とし、$CD=\sqrt{2}$、$\displaystyle \cos \angle BCD = \frac{3}{4}$とするので、上図のようになる。
このとき$BD$は「余弦定理」より、
なので、
$= 8+2-6$
$= 4$
よって、$BD=\pm 2$
$BD=\pm 2$
BDは辺の長さなので正。よって、$BD=2$
$\sin \angle ADC $の値
三角比の相互関係より$\sin \angle BCD$を求める
三角比の相互関係$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta =1$より、
$\displaystyle \sin^2 \angle BCD + (\frac{3}{4})^2 =1$
$\displaystyle \sin^2 \angle BCD =1 – \frac{9}{16}$
$\displaystyle \sin^2 \angle BCD =\frac{7}{16}$
よって、$\displaystyle \sin \angle BCD =\pm \frac{\sqrt{7}}{4}$
$\displaystyle \sin \angle BCD =\pm \frac{\sqrt{7}}{4}$
$\angle BCD $は$\bigtriangleup DBC$の内角の1つなので$\angle BCD \leq 90$である。よって、$0 \leq \sin \angle BCD \leq 1$。
従って、$\displaystyle \sin \angle BCD =\frac{\sqrt{7}}{4}$
正弦定理より$\sin \angle CDB $を求める
$\bigtriangleup DBC$に対して「正弦定理」より、
$\displaystyle \frac{BD}{\sin \angle BCD} = \frac{BC}{\sin \angle CDB} $
変形すると、
$BD \sin \angle CDB =BC \sin \angle BCD$
各値を代入すると、
$\displaystyle 2 \sin \angle CDB = 2\sqrt{2} \frac{\sqrt{7}}{4}$
$\displaystyle 2 \sin \angle CDB = 2\sqrt{2} \frac{\sqrt{7}}{4}$
$\displaystyle 2 \sin \angle CDB = \frac{\sqrt{14}}{2}$
$\displaystyle \sin \angle CDB = \frac{\sqrt{14}}{4}$
$\displaystyle \sin \angle CDB = \frac{\sqrt{14}}{4}$
$\angle ADC = 180^{\circ} – \angle CDB$より$\sin \angle ADC$が求まる
三角比の関係より、$\sin(180^{\circ}-\theta)=\sin \theta$なので、
よって、$\displaystyle \sin \angle ADC= \frac{\sqrt{14}}{4}$
$\displaystyle \frac{AC}{AD}$
$\angle DCA = \angle BCD$より、$\sin \angle DCA$を求める
$\angle DCA = \angle BCD$より、
$\displaystyle \sin \angle DCA =\sin \angle BCD =\frac{\sqrt{7}}{4}$
よって、$\displaystyle \sin \angle DCA =\frac{\sqrt{7}}{4}$
正弦定理より$\displaystyle \frac{AC}{AD}$を求める
$\bigtriangleup ADC$に対して「正弦定理」より、
$\displaystyle \frac{AC}{\sin \angle ADC} = \frac{AD}{\sin \angle DCA} $
変形すると、
$\displaystyle AC \sin \angle DCA= AD \sin \angle ADC $
$\displaystyle \sin \angle ADC= \frac{\sqrt{14}}{4}$、$\displaystyle \sin \angle DCA =\frac{\sqrt{7}}{4}$を代入すると、
$\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{4}AC= \frac{\sqrt{14}}{4} AD $
$\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{4}AC= \frac{\sqrt{14}}{4} AD $
$\displaystyle AC= \sqrt{2} AD $
$\displaystyle \frac{AC}{AD}= \sqrt{2} $
$\displaystyle \frac{AC}{AD}= \sqrt{2} $
$AD$の値
$\bigtriangleup ADC$に対して「余弦定理」より、
各値を代入すると、
$\displaystyle AD^2 = \sqrt{2}^2 + CA^2 – 2 \times \sqrt{2} \times CA \times \frac{3}{4}$
また、先ほどの答え$\displaystyle \frac{AC}{AD}= \sqrt{2} $より、$AC=\sqrt{2}AD$である。こちらも代入すると、
$AD^2 = 2 + 2AD^2 – 3AD$
$0 = AD^2 – 3AD + 2$
$0 = (AD-1)(AD-2)$
$0 = (AD-1)(AD-2)$
よって、$AD$は$1$または$2$である。
ここで$AD=2$の場合を考える
$\displaystyle \frac{AC}{AD}= \sqrt{2} $、$AD=2$より、$AC=2\sqrt{2}$
この場合、上図を見てわかる通り$\bigtriangleup ABC$は2等辺三角形となり、$DC$は$C$から$AB$への垂線となる。よって、$\angle ADC = 90^{\circ}$となる。つまり$\bigtriangleup ADC$は直角三角形である。
$\bigtriangleup ADC$は直角三角形なので三平方の定理より$AD^2+DC^2=CA^2$を満たすはずです。
ですが、値を代入して$2^2+\sqrt{2}^2=(2\sqrt{2})^2$、計算すると$4+2=8$。三平方の定理を満たしませんでした。
よって、$AD=2$は正しくありません。
ゆえに$AD=1$
$\bigtriangleup ABC$の外接円の半径
$\bigtriangleup ADC$に対して「正弦定理」より、
$\displaystyle \frac{AD}{\sin \angle DCA} = \frac{DC}{\sin \angle CAD} $
変形すると、
$\displaystyle AD \sin \angle CAD= DC \sin \angle DCA $
各値を代入すると、
$\displaystyle \sin \angle CAD= \sqrt{2}\frac{\sqrt{7}}{4} =\frac{\sqrt{14}}{4}$
正弦定理より$\bigtriangleup ABC$の外接円の半径を求める
$\bigtriangleup ABC$に対して「正弦定理」より、$R$を外接円の半径とすると
$\displaystyle 2R = \frac{BC}{\sin \angle CAD}$
各値を代入すると、
$\displaystyle 2R = \frac{2\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{14}}{4}}$
$\displaystyle 2R = \frac{2\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{14}}{4}}$
$\displaystyle R = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{14}}=\frac{4\sqrt{28}}{14}$
$\displaystyle R = \frac{2\times 2\sqrt{7}}{7}=\frac{4\sqrt{7}}{7}$
$\displaystyle R =\frac{4\sqrt{7}}{7}$
よって、$\bigtriangleup ABC$の外接円の半径は$\displaystyle \frac{4\sqrt{7}}{7}$
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三角比、2等分線、余弦定理、正弦定理、外接円、三平方の定理