令和2年センター本試＞数２Ｂ＞第4問 (3)解いてみた

 

問題

問題は下記を開いてご確認ください。

令和２年度本試験の問題｜大学入試センター

第４問 （３）

$\overrightarrow {CB}$は？

$\displaystyle \overrightarrow{OC} =  (2\sqrt{3}, \, -2\sqrt{3}, \, 0)$、$B(2+2\sqrt{3}, \, 2-2\sqrt{3}, \, -4)$より、$B$から$C$を引けばよいので、

$\overrightarrow {CB}=(2+2\sqrt{3}, \, 2-2\sqrt{3}, \, -4)-(2\sqrt{3}, \, -2\sqrt{3}, \, 0)$

$=(2, \, 2, \, -4)$

平面$\alpha$上の四角形$OABC$はどんな四角形？

これまでに分かっていることから絞り込んでいく。

各辺の長さ

まず、下記2つは既に分かっている。
$|\overrightarrow{OA}|=3\sqrt{6}$
$|\overrightarrow{OC}| = 2\sqrt{6}$

$|\overrightarrow {CB}|$を求める

$\overrightarrow {CB}=(2, \, 2, \, -4)$より、
$|\overrightarrow {CB}|^2=2^2+2^2+(-4)^2=24$

よって、$|\overrightarrow {CB}|=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$（※絶対値なので正のみ）

$|\overrightarrow {AB}|$を求める

$|\overrightarrow {CB}|$と同じように求めていく。

$A(3, \, 3, \, -6)$、$B(2+2\sqrt{3}, \, 2-2\sqrt{3}, \, -4)$より、$B$から$A$を引けばよいので、
$\overrightarrow {AB}=(2+2\sqrt{3}, \, 2-2\sqrt{3}, \, -4)-(3, \, 3, \, -6)$
$=(-1+2\sqrt{3}, \, -1-2\sqrt{3}, \, 2)$

従って、
$|\overrightarrow {AB}|^2=(-1+2\sqrt{3})^2+(-1-2\sqrt{3})^2+2^2$
$=1+12+1+12+4=30$

よって、$|\overrightarrow {AB}|=\sqrt{30}$（※絶対値なので正のみ）

各辺の長さが分かり、選択肢$0$～$2$が違うことが分かった。

異なる長さの辺があるので、正方形ではない（選択肢：$0$）。向かい合う辺の長さが等しくないので、長方形でもない（選択肢：$1$）。同様の理由で、平行四辺形でもない（選択肢：$2$）。

あとは、向かい合う辺が平行な個所があるかどうかによって、$3$か$4$かが決まる。

$OA$と$CB$は平行？

$A(3, \, 3, \, -6)$より、$\displaystyle \overrightarrow{OA} =  (3, \, 3, \, -6)$、また$\overrightarrow {CB}=(2, \, 2, \, -4)$である。

上記$\displaystyle \overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow {CB}$の2つが、実数$u$に対して、$\displaystyle \overrightarrow{OA} = u\overrightarrow {CB}$が成り立てば、$OA$と$CB$は平行だといえる。

まず、$x$座標の倍率をチェックすると、$\displaystyle 3 \div 2=\frac{3}{2}$となる。つまり$\overrightarrow{OA}$の$x$座標の値は$\overrightarrow{OB}$の$x$座標の値の$\displaystyle \frac{3}{2}$倍であることが分かった。

$\displaystyle \frac{3}{2} \times \overrightarrow {CB}$を計算してみると、

$\displaystyle \frac{3}{2}  \overrightarrow {CB}=\frac{3}{2}(2, \, 2, \, -4)$

$\displaystyle =(3, \, 3, \, -6)$

$\displaystyle (3, \, 3, \, -6)$は$\displaystyle \overrightarrow{OA}$なので、$\displaystyle \overrightarrow{OA} =  \frac{3}{2}\overrightarrow{CB}$が成り立った。

従って、$OA$と$CB$は平行である。

問題に「少なくとも一組の対辺が平行な四角形を台形という」とあるので、四角形$OABC$は平行四辺形ではないが、台形（選択肢：３）である。

四角形$OABC$の面積は？

$\overrightarrow{OA} \perp \overrightarrow{OC}$かつ$OA$と$CB$は平行なので、高さは$|\overrightarrow{OC}| = 2\sqrt{6}$である。

そして、上辺と下辺は$|\overrightarrow{OA}|=3\sqrt{6}$、$|\overrightarrow {CB}|=2\sqrt{6}$なので、台形$OABC$の面積は

$(|\overrightarrow{OA}| + |\overrightarrow {CB}|) \times |\overrightarrow{OC}| \div 2$

$=(3\sqrt{6} + 2\sqrt{6}) \times 2\sqrt{6} \div 2$

$=5\sqrt{6} \times \sqrt{6} =30$

四角形$OABC$の面積は$30$。

スポンサーリンク