令和2年センター本試＞数１A＞第5問 解いてみた

問題

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令和２年度本試験の問題｜大学入試センター

第5問

$\bigtriangleup ABC$において辺$BC$を$7:1$に内分する点を$D$、辺$AC$を$7:1$に内分する点を$E$とする。線分$AD$と線分$BE$の交点を$F$とし、直線$FC$と辺$AB$の交点を$G$とすると、次のような図になる。

$\bigtriangleup ABC$と点$F$に対して、チェバの定理より$\displaystyle \frac{AG}{GB} ・\frac{BD}{DC}・\frac{CE}{EA}=1$が成り立つ。これを ( i ) とする。

$\displaystyle \frac{GB}{AG}$を求める

辺$BC$を$7:1$に内分する点が$D$なので、$BD$は$DC$の7倍である。よって、$BD=7DC$・・・( ii )

同様に、辺$AC$を$7:1$に内分する点を$E$なので、$EA$は$CE$の7倍である。よって、$EA=7CE$

以上より、( i )$\displaystyle \frac{AG}{GB} ・\frac{BD}{DC}・\frac{CE}{EA}=1$ に$BD=7DC$、$EA=7CE$を代入すると、

$\displaystyle \frac{AG}{GB} ・\frac{7DC}{DC}・\frac{CE}{7CE}=1$

$\displaystyle \frac{GB}{AG} =  1$・・・( iii )

$\displaystyle \frac{FD}{AF}$を求める

$\bigtriangleup ABD$と直線$CG$に対して、メネラウスの定理より、

$\displaystyle \frac{AG}{GB}・\frac{BC}{DC}・\frac{FD}{AF}=1$ が成り立つ。

$\displaystyle \frac{AG}{GB}$を求める

( iii )$\displaystyle \frac{GB}{AG} =  1$より、$\displaystyle \frac{AG}{GB} =  1$となる。

$\displaystyle \frac{BC}{DC}$を求める

まず、$BC$は$BD$と$DC$を合わせたものなので、$BC=BD+DC$が成り立つ。

これに( ii ) $BD=7DC$ を代入すると、

$BC=$$BD+DC=7DC+DC=8DC$・・・( iv )

$\displaystyle \frac{BC}{DC}$に↑を代入すると、

$\displaystyle \frac{BC}{DC}=\frac{8DC}{DC}=8$となる。

以上より、$\displaystyle \frac{AG}{GB}・\frac{BC}{DC}・\frac{FD}{AF}=1$に$\displaystyle \frac{AG}{GB} =  1$、$\displaystyle \frac{BC}{DC}=8$を代入すると、

$\displaystyle 1・8・\frac{FD}{AF}=1$

よって、$\displaystyle \frac{FD}{AF}=\frac{1}{8}$・・・( v )

$\displaystyle \frac{FC}{GF}$を求める

$\bigtriangleup BCG$と直線$AD$に対して、メネラウスの定理より、

$\displaystyle \frac{AG}{AB}・\frac{BD}{DC}・\frac{FC}{GF}=1$ が成り立つ。

$\displaystyle \frac{AG}{AB}$を求める

まず、$AB$は$AG$と$GB$を合わせたものなので、$AB=AG+GB$が成り立つ。

( v )$\displaystyle \frac{GB}{AG} =  1$より、${GB}={AG}$となる。

$AB=AG+GB$に↑を代入すると、$AB=2AG$

よって、$\displaystyle \frac{AG}{AB}$に$AB=2AG$を代入すると、

$\displaystyle \frac{AG}{AB}=\frac{AG}{2AG}=\frac{1}{2}$

$\displaystyle \frac{BD}{DC}$を求める

$\displaystyle \frac{BD}{DC}$に( ii ) $BD=7DC$を代入すると、

$\displaystyle \frac{BD}{DC}=\frac{7DC}{DC}=7$

以上より、$\displaystyle \frac{AG}{AB}・\frac{BD}{DC}・\frac{FC}{GF}=1$に$\displaystyle \frac{AG}{AB}=\frac{1}{2}$、$\displaystyle \frac{BD}{DC}=7$を代入すると、

$\displaystyle \frac{1}{2}・7・\frac{FC}{GF}=1$

よって、$\displaystyle \frac{FC}{GF}=\frac{2}{7}$・・・( vi )

$\displaystyle \frac{\bigtriangleup CDGの面積}{\bigtriangleup BFGの面積}$を求める

求めたいのは下図、青い三角形$\bigtriangleup CDG$、赤い三角形$\bigtriangleup BFG$の面積の比、$\displaystyle \frac{\bigtriangleup CDGの面積}{\bigtriangleup BFGの面積}$である。

三角形の面積を求める必要があるので、それぞれ底辺と高さが必要になる。

既に$\displaystyle \frac{FC}{GF}=\frac{2}{7}$が分かっているので、青い三角形$\bigtriangleup CDG$は$CG$、赤い三角形$\bigtriangleup BFG$は$GF$を底辺とすれば比率が分かる。高さの方も$BD:CD$が分かっているので相似関係から比率が分かる。

底辺

$\displaystyle \frac{FC}{GF}=\frac{2}{7}$より、$\displaystyle FC=\frac{2}{7} GF$である。

また、$CG=FC+GF$なので、$\displaystyle CG=\frac{2}{7} GF+GF=\frac{9}{7} GF$

よって、

$\bigtriangleup BFG$の底辺は$GF$

$\bigtriangleup CDG$の底辺は$\displaystyle \frac{9}{7} GF$

と底辺を$GF$だけを用いて表せた。

高さ

$D$から直線CGに下ろした垂線との交点を$I$としたとき、青い三角形$\bigtriangleup CDG$の高さ$DI$、$B$から直線CGに下ろした垂線との交点を$H$としたとき、赤い三角形$\bigtriangleup BFG$の高さ$BH$である。

ここで次の緑の三角形$\bigtriangleup BCH$とオレンジの三角形$\bigtriangleup DCI$を見ると、以下より2つの角が同じなので、相似である。

• $\angle BHC$と$\angle DIC$がともに$90^{\circ}$
• $\angle BCH$と$\angle DCI$は同じ角なので等しい

よって、$BH:DI=BC:DC$となるので、$BH・DC=DI・BC$である。

また、( iv )$BC=8DC$を代入すると、$BH・DC=DI・8DC$、

$BH=8DI$となる。

従って、

$\bigtriangleup BFG$の高さは$8DI$

$\bigtriangleup CDG$の高さは$DI$

と高さを$DI$だけを用いて表せた。

$\displaystyle \frac{\bigtriangleup CDGの面積}{\bigtriangleup BFGの面積}$

以上より、各底辺と高さが分かったので、それぞれの面積は、

青い三角形$\bigtriangleup CDG$の面積は、$\displaystyle \frac{9}{7} GF ・ DI$

赤い三角形$\bigtriangleup BFG$の面積は、$\displaystyle GF ・ 8DI=8DI・GF$

よって、$\displaystyle \frac{\bigtriangleup CDGの面積}{\bigtriangleup BFGの面積}$は

$\displaystyle \frac{\frac{9}{7} GF ・ DI}{8DI・GF}=$$\displaystyle \frac{9}{56}$

 

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