#3 論理積、論理和、否定、含意の性質を確認する

このページのまとめ

1. 論理積「$\land$」、論理和「$\lor$」、否定「$\lnot$」、含意「$\to$」の性質を確認する
2. $ (P \land P)$と$P$は置き換え可能（反射律という）
3. $(P \land Q)$と$(Q \land P)$は置き換え可能（対象律という）
4. $ (P \lor P)$と$P$は置き換え可能（反射律という）
5. $(P \lor Q)$と$(Q \lor P)$は置き換え可能（対象律という）
6. $\lnot (\lnot P)$と$P$は置き換え可能（二重否定）
7. $P \land \lnot P$は常に「偽」（矛盾式という）
8. $P \lor \lnot P$は常に「真」（恒真式（トートロジー）という）
9. $(P \to Q)$と$(Q \to P)$は置き換えできない
10. $P \to P$は常に「真」（恒真式（トートロジー）という）
11. $(P \to Q) \lor (Q \to P)$は常に「真」（恒真式（トートロジー）という）

論理積「$\land$」の性質

反射率

$P \land P$と$P$は論理的に同値です。よって、$P \land P$を$P$と置き換えることができますし、$P \land P$を$P$と置き換えることができます。

対象律

$P \land Q$と$Q \land P$は論理的に同値です。よって、$P \land Q$を$Q \land P$と置き換えることができますし、$Q \land P$を$P \land Q$と置き換えることができます。

参考リンク

• $P \land Q$（論理積）の真理値表を示せ ＞
• $(P \land Q) \leftrightarrow (Q \land P)$を確認せよ（対象律） ＞
• $(P \land P) \leftrightarrow P$を確認せよ（反射律） ＞

論理和「$\lor$」の性質

反射率

$P \lor P$と$P$は論理的に同値です。よって、$P \lor P$を$P$と置き換えることができますし、$P \lor P$を$P$と置き換えることができます。

対象律

$P \lor Q$と$Q \lor P$は論理的に同値です。よって、$P \lor Q$を$Q \lor P$と置き換えることができますし、$Q \lor P$を$P \lor Q$と置き換えることができます。

参考リンク

1. $P \lor Q$（論理和）の真理値表を示せ ＞
2. $(P \lor Q) \leftrightarrow (Q \lor P)$を確認せよ（対象律） ＞
3. $(P \lor P) \leftrightarrow P$を確認せよ（反射律） ＞
   

否定「$\lnot$」の性質

二重否定

$\lnot (\lnot P)$と$P$は論理的に同値です。よって、$\lnot (\lnot P)$を$P$と置き換えることができますし、$P$を$\lnot (\lnot P)$と置き換えることができます。

$P \lor \lnot P$（恒真式）

$P \lor \lnot P$は恒真式（トートロージー）です。

つまり、$P$が「真」であれば、$\lnot P$は「偽」であり、$P$が「偽」であれば、$\lnot P$は「真」である、のどちらかしか起こりえないということです。

$P \land \lnot P$（矛盾）

$P \land \lnot P$は$P$の真偽に関わらず常に「偽」となります。よって、$P \land \lnot P$は必ず成り立ちません。

このように$P$の真偽に関わらず常に「偽」になる論理式を矛盾式と言います。つまり、$P$が「真」であり「偽」となることは起こりえないということです。

参考リンク

1. $\lnot P$（否定）の真理値表を示せ ＞
2. $P \lor \lnot P$が恒真式であることを確認せよ（排中律） >
3. $P \land \lnot P$の真理値表を求めよ（矛盾） ＞

含意「$\to$」

$P \to P$（恒真式）

$P \to P$は恒真式（トートロージー）です。

つまり、$P$が「真」ならば、$P$は「真」であり、$P$が「偽」であれば、$P$は「偽」であるということです。

$(P \to Q) \lor (Q \to P)$（恒真式）

$(P \to Q) \lor (Q \to P)$は恒真式（トートロージー）です。

参考リンク

1. $P \to Q$（含意）の真理値表を示せ ＞
2. $P \to P$が恒真式であることを確認せよ ＞

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このページのまとめ

1. 論理積「$\land$」、論理和「$\lor$」、否定「$\lnot$」、含意「$\to$」の性質を確認する
2. $ (P \land P)$と$P$は置き換え可能（反射律という）
3. $(P \land Q)$と$(Q \land P)$は置き換え可能（対象律という）
4. $ (P \lor P)$と$P$は置き換え可能（反射律という）
5. $(P \lor Q)$と$(Q \lor P)$は置き換え可能（対象律という）
6. $\lnot (\lnot P)$と$P$は置き換え可能（二重否定）
7. $P \land \lnot P$は常に「偽」（矛盾式という）
8. $P \lor \lnot P$は常に「真」（恒真式（トートロジー）という）
9. $(P \to Q)$と$(Q \to P)$は置き換えできない
10. $P \to P$は常に「真」（恒真式（トートロジー）という）
11. $(P \to Q) \lor (Q \to P)$は常に「真」（恒真式（トートロジー）という）

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