【証明】二次方程式から解の公式を求める1－代数学

【問題】二次方程式から解の公式を求める

二次方程式$ax^2+bx+c=0 \, (a \neq 0)$から解の公式$\displaystyle x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}$を求める

回答

$ax^2+bx+c=0$

$x$を（左辺）にまとめるために、（両辺）から$c$を引く、
$ax^2+bx=-c$・・・（１）

（左辺）を$(x+y)^2$の形にしたい

（左辺）には$x^2$の形があるので（左辺）を$(x+y)^2$の形にしたい。理由は、$(x+y)^2=-c$となれば、両辺ルートをとって$y$を右辺に移せば、$x=～～$という$x$の解の形にできるためです。

二項定理より、$(x+y)^2=x^2 + 2xy +y^2$です。（左辺）を$x^2 + 2xy +y^2$の形にすればよいので、再度（左辺）と比較してみると、下記2点が考えられます。

1. （左辺）の$ax^2$より$x^2=ax^2$は確定して良さそう
2. （左辺）の$bx$より$y^2=b^2$といったん考えれば良さそう（$b$の係数は変動がありそう）

1、2より、$x=\sqrt{a} \,  x$と$y=b$で二項定理を考えれば良さそうです。よって、

$(\sqrt{a} x +b)^2=ax^2+2\sqrt{a} \, bx+b^2$・・・（２）

（左辺）をどのように変形すればよいか考える

$ax^2+bx$・・・（１）の（左辺）
$ax^2+2\sqrt{a} \, bx+b^2$・・・（２）の（右辺）

を比較すると$x$が1次の項$bx$と$2\sqrt{a} \, bx$が違います。

この$x$が1次の項は$(\sqrt{a} x +b)^2$に対して、$2 \times \sqrt{a} \, x \times b$で計算されます。ここで$2$は決まっていますし、$\sqrt{a} \, x$は確定としていますので、$(\sqrt{a} x +b)^2$の$b$を調整します。

いったん$b$と置いていましたが、違うようなので、仮の$b$として、$b’$とします。よって、$2 \times \sqrt{a} \, x \times b’ = bx$となるような$b’$を探します。

$2 \times \sqrt{a} \, x \times b’ = bx$

両辺$2 \sqrt{a} \, x$で割る、

$\displaystyle b’=\frac{b}{2 \sqrt{a}} $

よって、$\displaystyle (\sqrt{a} x + \frac{b}{2 \sqrt{a}})^2$という形にしたいことが分かりました。

$\displaystyle =ax^2+bx +\frac{b^2}{4a}$

この式と（１）の左辺を比較すると（１）の両辺に$\displaystyle \frac{b^2}{4a}$を足せばいいことが分かりました。

$ax^2+bx$・・・（１）の（左辺）
$\displaystyle ax^2+bx +\frac{b^2}{4a}$・・・（３）の（右辺）

（左辺）を変形する

（１）（３）より、（１）を変形していきます。

$ax^2+bx=-c$

両辺に$\displaystyle \frac{b^2}{4a}$を足す、

$\displaystyle ax^2+bx+\frac{b^2}{4a}=-c+\frac{b^2}{4a}$

$\displaystyle (\sqrt{a} x + \frac{b}{2 \sqrt{a}})^2=ax^2+bx +\frac{b^2}{4a}$なので、

$\displaystyle (\sqrt{a} x + \frac{b}{2 \sqrt{a}})^2=-c+\frac{b^2}{4a}$

（右辺）を通分する、

$\displaystyle (\sqrt{a} x + \frac{b}{2 \sqrt{a}})^2=\frac{b^2-4ac}{4a}$

（両辺）ルートをとると、

$\displaystyle \sqrt{a} x + \frac{b}{2 \sqrt{a}}=\frac{\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2\sqrt{a}}$

（両辺）$\displaystyle \frac{b}{2 \sqrt{a}}$で引く、

$\displaystyle \sqrt{a} x= -\frac{b}{2 \sqrt{a}}  + \frac{\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2\sqrt{a}}$

$\displaystyle \sqrt{a} x= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2\sqrt{a}}$

（両辺）$\sqrt{a}$で割ると、

$\displaystyle x= \frac{b \pm \sqrt{-b^2-4ac}}{2a}$

二次方程式$ax^2+bx+c=0 \, (a \neq 0)$から解の公式$\displaystyle x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}$を求めることができました。

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