【問題】外延性の公理の逆含意も成り立つことを証明せよ－集合論（外延性の公理）

【問題】外延性の公理の逆含意も成り立つことを証明せよ

外延性の公理の逆含意：$\forall A \, \forall B \, (A = B \to \forall x(x \in A \leftrightarrow x \in B))$が成り立つことを証明せよ

回答

等式の代入原理によって$\forall A \, \forall B \, (A = B \to \forall x(x \in A \leftrightarrow x \in B))$が成り立つことを証明します。

代入原理: 対象 a, b が a = b であるときには、一つの自由変数 x を含むどんな命題関数 P(x) についても P(a) ⇔ P(b) が（両辺ともに一意的な意味を持つ限りにおいて）常に成り立つ。

ウィキペディアの執筆者，2021，「等式」『ウィキペディア日本語版』，（2021年5月21日取得，https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=%E7%AD%89%E5%BC%8F&oldid=82306340）．

$A=B$なので、等式の代入原理より、一つの自由変数$ y$ を含むどんな命題関数$ P(y)$ についても $P(A) \leftrightarrow P(B)$ が成り立ちます。
※外延性の公理にて変数xが使用されているため、自由変数はyに置き換えました

論理式で表すと、$A=B \to (P(A) \leftrightarrow P(B))$・・・（１）が成立するということです。

命題変数$P(y)=\forall x(x \in y)$とする

等式の代入原理より、どんな命題関数$P(y)$でも（１）は成り立つので、$P(y)=\forall x(x \in y)$でも成り立ちます。（１）の$P(A)$、$P(B)$を置き換えると、$A=B \to \forall x(x \in A \leftrightarrow x \in B))$となります。

よって、$A=B \to \forall x(x \in A \leftrightarrow x \in B)$が成り立つことを示せました。

従って、外延性の公理の逆含意：$\forall A \, \forall B \, (A = B \to \forall x(x \in A \leftrightarrow x \in B))$が成り立つことが証明できました。

Q.E.D.

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備考

等式の代入原理を用いて、外延性の公理の逆含意も成り立つことが分かりました。つまり、$\forall A \, \forall B \, (\forall x(x \in A \leftrightarrow x \in B) \leftrightarrow A = B)$が成り立つ（真となる）ことが分かりました。

空集合の一意性の証明に役立ちそうな気がします。

キーワード

気になる人は調べてみてね。

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