【問題】{x, y}が一意に定まることを証明せよ－集合論（対の公理＆外延性の公理）

【問題】{x, y}が一意に定まることを証明せよ

$x$と$y$という要素に対して、対の公理が主張する集合が一意に定まることを証明せよ

回答

$x$、$y$という要素に対して、対の公理が主張する集合を$A、A’$とし、$A＝A’$であることを示せれば、適当に選んだ2つの集合は等しくなるので、対の公理が主張する集合が一意に定まることが証明できます。

外延性の公理より

外延性の公理より、どのような集合$A$、$B$に対しても$ \forall x(x \in A \leftrightarrow x \in B) \to A = B$は「真」となります。

ここで、証明に役立つ含意（$\to$）の性質より、任意の$x$に対して$x \in A \leftrightarrow x \in B$が「真」であることを示せれば、 $A = B$を証明できます。

従って、集合$A$、$A’$に対して、$ \forall t \, (t \in A \leftrightarrow t \in A’)$が「真」であることを示せれば、 $A = A’$を証明できます。

$\forall t(t \in A \leftrightarrow t \in A’)$が「真」を示す

$A$、$A’$は$x$、$y$に対して対の公理が主張する集合なので下記が「真」となります。

• $\forall t \, (t \in A \leftrightarrow (t=x \lor t=y))$・・・（１）
• $\forall t \, (t \in A’ \leftrightarrow (t=x \lor t=y))$・・・（２）

（１）と（２）は「真」となるので、真偽のパターンは下記表の2パターンに限られます。

よって、$\forall t(t \in A \leftrightarrow t \in A’)$の真偽は下記のようになります。

$ \forall t \, (t \in A \leftrightarrow t \in A’)$が「真」であることを示せましたので、$A＝A’$となります。よって、$x$と$y$という要素に対して、対の公理が主張する集合が一意に定まることを証明できました。

Q.E.D.

スポンサーリンク

備考

外延性の公理より、$x$と$y$という要素に対して、対の公理が主張する集合が一意に定まることが証明できました。よって、このような集合は1つしかないので、$\{x, y\}$という記号で書くことにします。

これは{x, y}だけではなく、$a$、$b$という要素に対しても同様に一意に定まるので、$a$、$b$という要素に対しては{a, b}と書けます。空集合の公理では一つの空集合$\emptyset$しか存在しませんでしたが、対の公理では2つの要素を持つ集合の存在が見つかりました。要素を2つとれば良いのでいくつもの集合の存在が見つかったと考えられます。

キーワード

気になる人は調べてみてね。

公理的集合論、外延性の公理、対の公理、{x, y}、論理式、全称記号（$\forall$）、 等号（=）、含意（$\to$）、同値（$\leftrightarrow$）、Q.E.D.