正しく証明・計算の結果が学術的に本当に正しいかどうかは保証できません…ご了承くださいm(__)m
学生の方であれば、疑問に思ったところなどは教授・助教授、その他周りの方に確認してくださいね。
もし、コメント等でご指摘いただければ有難いです。
【問題】集合$\{a, b\} = \{b, a\}$を証明せよ
要素$a$、$b$に対して対の公理が主張する集合$\{a, b\}$と、要素$b$、$a$に対して対の公理が主張する集合$\{b, a\}$が$\{a, b\}=\{b, a\}$となることを証明せよ。
※{x, y}が一意に定まることを証明せよにて一意性を示せたので$a$、$b$に対しても対の公理が主張する集合を$\{a, b\}$と書くことができます
回答
外延性の公理より
外延性の公理より、どのような集合$A$、$B$に対しても$ \forall x(x \in A \leftrightarrow x \in B) \to A = B$は「真」となります。
$\forall A \, \forall B \, (\forall x(x \in A \leftrightarrow x \in B) \to A = B)$（$A$と$B$が全く同じ要素を持つのなら$A$と$B$は等しい）
公理とは議論する上での前提条件なので、無条件で成立します。
ここで、証明に役立つ含意（$\to$）の性質より、任意の$x$に対して$x \in A \leftrightarrow x \in B$が「真」であることを示せれば、 $A = B$を証明できます。
従って、集合$\{a, b\}$、$\{b, a\}$に対して、$ \forall t \, (t \in \{a, b\} \leftrightarrow t \in \{b, a\}’)$が「真」であることを示せれば、 $A = A’$を証明できます。
$\forall t(t \in \{a, b\} \leftrightarrow t \in \{b, a\})$が「真」を示す
$\{a, b\}$、$\{b, a\}$は対の公理が主張する集合なので下記が「真」となります。
- $\forall t \, (t \in \{a, b\} \leftrightarrow (t=a \lor t=b))$・・・（２）
- $\forall t \, (t \in \{b, a\} \leftrightarrow (t=b \lor t=a))$・・・（３）
$P \lor Q$と$Q \lor P$は論理的に同値なので、置き換えることができます。よって、（３）の$\color{red} t=b \color{black} \lor \color{blue} t=a$を$\color{blue} t=a \color{black} \lor \color{red} t=b$と置き換えます。
- $\forall t \, (t \in \{b, a\} \leftrightarrow (t=a \lor t=b))$・・・（３’）
$\forall x \, \forall y \, \exists A \, \forall t \, (t \notin A \leftrightarrow (t=x \lor t=y))$（任意の要素 x, y に対して、x と y のみを要素とする集合が存在する）
（２）と（３’）は「真」となるので、真偽のパターンは下記表の2パターンに限られます。
| $t \in \{a, b\}$ | $t=a \lor t=b$ | $t \in \{b, a\}$ |
|---|---|---|
| T | T | T |
| F | F | F |
$P \leftrightarrow Q$が「真」となるのは$P$、$Q$ともに「真」、または、ともに「偽」のときです。
（２）より、$\forall t \, (t \in \{a, b\} \leftrightarrow (t=a \lor t=b))$は「真」なので、$t \in \{a, b\}$と$t=a \lor t=b$がともに「真」、または、ともに「偽」に限ります。ともに「真」の場合、$t=a \lor t=b$は「真」となるので、（３’）が「真」より、$t \in \{b, a\}$も「真」となります。ともに「偽」の場合も同様に$t \in \{b, a\}$も「偽」となります。
よって、$\forall t(t \in \{a, b\} \leftrightarrow t \in \{b, a\})$の真偽は下記のようになります。
| $t \in \{a, b\}$ | $t=a \lor t=b$ | $t \in \{b, a\}$ | $\forall t(t \in \{a, b\} \leftrightarrow t \in \{b, a\})$ |
|---|---|---|---|
| T | T | T | T |
| F | F | F | T |
$\forall t(t \in \{a, b\} \leftrightarrow t \in \{b, a\})$が「真」であることを示せましたので、$\{a, b\}＝\{b, a\}$を証明できました。
Q.E.D.
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備考
外延性の公理より、$a$と$b$という要素に対して、対の公理が主張する集合は要素の順番が反対でも等しい（同じ）ことが分かりました。
キーワード
気になる人は調べてみてね。
公理的集合論、外延性の公理、対の公理、集合、論理式、全称記号（$\forall$）、 等号（=）、含意（$\to$）、同値（$\leftrightarrow$）、Q.E.D.
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