【問題】xのn乗を微分すると n 掛ける xの(n-1)乗になることを証明せよ－解析学

【問題】$f(x)=x^{n}$を微分すると$nx^{n-1}$になることを証明せよ

$f(x)=x^n$を微分すると$nx^{n-1}$になることを証明せよ

回答

微分の公式より、

$f'(x)= \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h) -x}$

$f(x)=x^n$ より、

$f'(x)= \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^n-x^n}{(x+h) -x}$

二項定理より、$\displaystyle (x+y)^n=\sum_{k=0}^{n}  {}_n C_k \, x^{n-k}y^k$です。

※二項定理の証明はこちら

$f'(x)= \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\sum_{k=0}^{n}  {}_n C_k \, x^{n-k}h^k – x^n}{h}$

$= \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \, \sum_{k=0}^{n}  {}_n C_k \, x^{n-k}h^k – x^n$

$x^n$が消え、カッコ内をhで割ります。

$\displaystyle ＝ \lim_{h \to 0} ( {}_{n} C_1 \, x^{n-1} + {}_{n} C_2 \, x^{n-2} \color{blue}h^{\color{red}1} \color{black} + \cdots $

$\displaystyle + {}_{n} C_{n-3} \, x^3  \color{blue} h^{n-\color{red} 4 \color{black}}  + {}_{n} C_{n-2} \, x^2  \color{blue} h^{n-\color{red}3} $

$\displaystyle + {}_{n} C_{n-1}x  \color{blue} h^{n-\color{red} 2 \color{black}}  +  \color{blue} h^{n\color{red}-1\color{black}} )$

「$h$」を$0$に限りなく近づけるので（1項目以外すべて$h$を含むので$0$になる）、

$f'(x)= {}_{n} C_1 \, x^{n-1}=nx^{n-1}$

Q.E.D.

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「d」や「$\Delta$（デルタ）」を使って式を書くのもオススメの理由

参考：f(x)=xを微分せよ

上記参考ページでは、の「d」や「$\Delta$（デルタ）」の記号を使ったパターンも書いています。

「d」や「$\Delta$（デルタ）」は差分（difference）のことを指しています。まず、$df$は$f(x)$と$x$から$\Delta x$（ほんの少し）だけ動かした$f(x+\Delta x)$の差分という意味です。また$dx$も同様に変数$x$と$x+\Delta x$の差分という意味です。

また、この差分を限りなく小さくするのが微分なので、$\Delta x$を0に近づけるわけです。よって、 $\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}$があります。微分とは、一瞬の変化量が知りたい、つまり傾きを求めているわけです。

ごちゃごちゃと書きましたが、$\displaystyle  \frac{df}{dx}$という形で微分を覚えたら、いざというときに微分の公式が簡単に思い出せそうではないですか？

微分の形を覚えるまでだけでも、この書き方で練習するのが個人的にはオススメです。