正しく証明・計算の結果が学術的に本当に正しいかどうかは保証できません…ご了承くださいm(__)m
学生の方であれば、疑問に思ったところなどは教授・助教授、その他周りの方に確認してくださいね。
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【問題】$\lnot(P \to Q)$と$P \land \lnot Q$が論理的に同値であることを示せ
命題変数$P$、$Q$に対して$\lnot(P \to Q)$と$P \land \lnot Q$が論理的に同値であることを示せ。
回答
命題変数$P$、$Q$はそれぞれ真（T）、偽（F）の2パターンがあります。よって、すべての組み合わせは「真と真」「真と偽」「偽と真」「偽と偽」になるため、その4通りを確認します。
$\lnot(P \to Q)$の真理値表（表１）は下記の通りです。
| $P$ | $Q$ | $P \to Q$ | $\lnot (P \to Q)$ |
|---|---|---|---|
| T | T | T | F |
| T | F | F | T |
| F | T | T | F |
| F | F | T | F |
※参考：P→Qの真理値表を示せ
$P \land \lnot Q$の真理値表（表２）は下記の通りです。
| $P$ | $Q$ | $\lnot Q$ | $P \land \lnot Q$ |
|---|---|---|---|
| T | T | F | F |
| T | F | T | T |
| F | T | F | F |
| F | F | T | F |
※参考：￢Pの真理値表を示せ
※参考：P∧Qの真理値表を示せ
表１、表２より、$\lnot(P \to Q)$と$P \land \lnot Q$の真理値表が一致します。よって、$\lnot(P \to Q)$と$P \land \lnot Q$が論理的に同値であることを示せました。
Q.E.D.
備考
外延性の公理について考えていたときに$P \to Q$（含意）の否定を考える機会がありました。そのとき、含意の否定の論理式がパッとは出てきませんでした。
日本語で意味を考えると$P \land \lnot Q$であると分かりましたが、実際に真理値表でも真偽が一致してよかったです。
$\lnot(P \to Q)$と$P \land \lnot Q$は論理的に同値なので、$\lnot(P \to Q)$と$P \land \lnot Q$をそれぞれ置き換えることができます。
キーワード
気になる人は調べてみてね。
数理論理学、含意（$\to$）、否定（$\lnot$）、論理積（$\land$）、命題変数、論理式、真理値表、Q.E.D.
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