チェバの定理とは、三角形と点との関係性の定理です。
$\bigtriangleup ABC$と点$D$があります。
下図のように$AD$を通る直線と$BC$との交点を$E$、$BD$を通る直線と$AC$との交点を$F$、$CD$を通る直線と$AB$との交点を$G$とします。
このとき、$\displaystyle \frac{AG}{BG} \frac{BE}{CE} \frac{CF}{AF} = 1$となります。これがチェバの定理です。
※上図は直角三角形ですが、どのような三角形でも、どの位置の点（三角形の頂点以外）でも成り立ちます
では、なぜ$\displaystyle \frac{AG}{BG} \frac{BE}{CE} \frac{CF}{AF} = 1$の式が成り立つか証明したいと思います。不明点があれば、お気軽にコメントください。
なんとなく流れが分かっている方が分かりやすいかと思いますので、まずはざっくりとした流れから。
証明のざっくりとした流れ
$\bigtriangleup ABC$と点$D$からできる↓この2つの三角形とか、
↓この2つの三角形とか、
↓この2つの三角形とかが、それぞれ相似になっていて、
辺や面積の比をうまく考えると、$\displaystyle \frac{S_{adc}}{S_{bcd}}=\frac{AG}{BG}$、$\displaystyle \frac{S_{bcd}}{S_{abd}}=\frac{CF}{AF}$、$\displaystyle \frac{S_{abd}}{S_{acd}}=\frac{BE}{CE}$となって、それぞれ掛け合わせると、なんとチェバの定理の形になります。
それでは、詳しく見ていきます。
$\bigtriangleup ACD$と$\bigtriangleup BCD$から分かること
$\bigtriangleup ACD$と$\bigtriangleup BCD$から分かることを調べていきます。
$\bigtriangleup ACD$と$\bigtriangleup BCD$の面積
まず、青色の$\bigtriangleup ACD$と赤色の$\bigtriangleup BCD$の面積を考えていきます。青色の$\bigtriangleup ACD$の面積を$S_{acd}$、赤色の$\bigtriangleup BCD$の面積を$S_{bcd}$とします。
さて、面積を求めるには底辺と高さが必要ですね。それぞれ見ていきましょう。
底辺
$\bigtriangleup ACD$と$\bigtriangleup BCD$の共通の辺$CD$を底辺と考えます。
高さ
続いて各三角形の高さを考えます。
青い三角形も赤い三角形も同じ方法で高さを求められます。
最初に下図のように$CD$を延長します。
続いて、頂点$A$から$CD$を延長した線に対して垂線を引き、その交点を$H$とすると、青色の三角形の高さ$AH$が見つかりました。
同様に、頂点$B$から$CD$を延長した線に対して垂線を引き、その交点を$I$とすると、赤色の三角形の高さ$BI$が見つかりました。
これで、青い三角形と赤い三角形に対して、$CD$を底辺としたときの各高さがどこにあるか分かりました。
面積
以上より、各三角形の面積は下記のようになります。
青色の$\bigtriangleup ACD$の面積$\displaystyle S_{acd} = \frac{CD・AH}{2}$
赤色の$\bigtriangleup BCD$の面積は$\displaystyle S_{bcd} = \frac{CD・BI}{2}$
実は、今求めた各三角形の高さ$AH$と$BI$と$AG$、$BG$には面白い関係性があります。
高さ$AH$、$BI$と$AG$、$BG$との関係性
高さ$AH$、$BI$と$AG$、$BG$との関係性を調べるために、$\bigtriangleup AGH$と$\bigtriangleup BGI$の関係性を見ていきます。
$\bigtriangleup AGH$と$\bigtriangleup BGI$の$\angle AHG$、$\angle BIG$はともに$90^{\circ}$です。そのように作図したので当たり前ですね。
また、$\angle AGH$と$\angle BGI$は対頂角（向かい合う角）なので、等しいです。
よって、$\angle AHG = \angle BIG$、$\angle AGH = \angle BGI$なので、$\bigtriangleup AGH$と$\bigtriangleup BGI$は2角が等しい。つまり、$\bigtriangleup AGH$と$\bigtriangleup BGI$は相似な図形だと分かりました。
$\bigtriangleup AGH$と$\bigtriangleup BGI$は相似より、各辺の比は等しい
$\bigtriangleup AGH$と$\bigtriangleup BGI$は相似より、各辺の比は等しくなります。
$AH$と$BI$、$AG$と$BG$、残りの$GH$と$GI$がそれぞれ同じ比率になります。
関係性
よって、$AH:BI=AG:BG$となるので、$AH・BG=BI・AG$が成り立ちます。従って、高さ$AH$、$BI$と$AG$、$BG$には、$\displaystyle \frac{AH}{BI}=\frac{AG}{BG}$という関係性があることが分かりました。
$\bigtriangleup ADC$と$\bigtriangleup BCD$の面積比も同じ
高さ$AH$、$BI$と$AG$、$BG$には、$\displaystyle \frac{AH}{BI}=\frac{AG}{BG}$という関係性が分かりました。この関係式を変形することで、面積比も知ることができます。
$\displaystyle \frac{AH}{BI}=\frac{AG}{BG}$の左辺に$\displaystyle \frac{\frac{CD}{2}}{\frac{CD}{2}}$を掛けます。$\displaystyle \frac{\frac{CD}{2}}{\frac{CD}{2}}=1$なので、掛けても問題ありませんね。
（左辺）$\displaystyle = \frac{AH}{BI} \times \frac{\frac{CD}{2}}{\frac{CD}{2}}=\frac{\frac{CD・AH}{2}}{\frac{CD・BI}{2}}$
ここで、下図、青色の三角形と赤色の三角形の面積を思い出してください。左辺の分母と分子がそれぞれの面積になっていますね。
青色の$\bigtriangleup ADC$の面積$\displaystyle S_{adc} = \frac{CD・AH}{2}$
赤色の$\bigtriangleup BCD$の面積は$\displaystyle S_{bcd} = \frac{CD・BI}{2}$
よって、
（左辺）$\displaystyle = \frac{\frac{CD・AH}{2}}{\frac{CD・BI}{2}} = \frac{S_{adc}}{S_{bcd}}$
つまり、$\displaystyle \frac{AH}{BI}=\frac{S_{adc}}{S_{bcd}}=\frac{AG}{BG}$
青と赤の三角形の面積と$AG$、$BG$との関係性$\displaystyle \frac{S_{adc}}{S_{bcd}}=\frac{AG}{BG}$が分かりました。
$\bigtriangleup BCD$と$\bigtriangleup ABD$から分かること
「$\bigtriangleup ADC$と$\bigtriangleup BCD$から分かること」と全く同じ手順を行うことで、
青と赤の三角形の面積と$AF$、$CF$との関係性$\displaystyle \frac{S_{bcd}}{S_{abd}}=\frac{CF}{AF}$が分かりました。
※同じ手順ですが、詳細を書いてほしい場合は、コメントくださいね
$\bigtriangleup ABD$と$\bigtriangleup ACD$から分かること
「$\bigtriangleup ACD$と$\bigtriangleup BCD$から分かること」と全く同じ手順を行うことで、
青と赤の三角形の面積と$AF$、$CF$との関係性$\displaystyle \frac{S_{abd}}{S_{acd}}=\frac{BE}{CE}$が分かりました。
※同じ手順ですが、詳細を書いてほしい場合は、コメントくださいね
$\bigtriangleup ACD$と$\bigtriangleup BCD$と$\bigtriangleup ABD$より
以上より、下記3つの式を得ました。
$\displaystyle \frac{S_{acd}}{S_{bcd}}=\frac{AG}{BG}$・・・( i )
$\displaystyle \frac{S_{bcd}}{S_{abd}}=\frac{CF}{AF}$・・・( ii )
$\displaystyle \frac{S_{abd}}{S_{acd}}=\frac{BE}{CE}$・・・( iii )
( i ) と ( ii )の各辺を掛けます。
$\displaystyle \frac{S_{acd}}{S_{bcd}}・\frac{S_{bcd}}{S_{abd}}=\frac{AG}{BG} ・\frac{CF}{AF}$
$\displaystyle \frac{S_{acd}}{S_{abd}}=\frac{AG}{BG} ・\frac{CF}{AF}$・・・ ( iv )
( iv ) と ( iii ) の各辺を掛けます。
$\displaystyle \frac{S_{acd}}{S_{abd}}・\frac{S_{abd}}{S_{acd}}=\frac{AG}{BG} ・\frac{CF}{AF}・\frac{BE}{CE}$
$\displaystyle 1=\frac{AG}{BG} ・\frac{CF}{AF}・\frac{BE}{CE}$
以上で証明終了です。
参考
$\displaystyle 1=\frac{AG}{BG} ・\frac{CF}{AF}・\frac{BE}{CE}$を最初に定理を紹介した、下記に合わせておきます。
$\displaystyle \frac{AG}{BG} \frac{BE}{CE} \frac{CF}{AF} = 1$
$\displaystyle 1=\frac{AG}{BG} ・\frac{CF}{AF}・\frac{BE}{CE}$
両辺入れ替えます。
$\displaystyle \frac{AG}{BG} ・\frac{CF}{AF}・\frac{BE}{CE} = 1$
$\displaystyle \frac{CF}{AF}$と$\displaystyle \frac{BE}{CE}$を入れ替えます。
$\displaystyle \frac{AG}{BG} ・\frac{BE}{CE}・\frac{CF}{AF} = 1$
まとめ
三角形と点によって引かれた線によってできた3つの三角形の面積をうまく使うことで、チェバの定理を証明することができました。
ちなみに直角三角形が作図しやすかったので、そちらを例に進めましたが、どのような三角形でも同じ手順で同じ結果が得られると思います。
もし、試してほしい形の三角形があれば、コメントください。検証してみます。
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- 問題の解答例など解法は見ずに解いています。覚えていない部分は学習はしますが、直接問題の解き方は調べていません。
よって、順当な解法かは分かりませんが、何か参考になれば幸いです - なるべく細かく書くようにしています。不明点はコメントいただければ嬉しいです
- また、正解かどうかのチェックは行い、正解にはなっています
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チェバの定理、三角形、相似、対頂角
