【問題】（P∨Q）と（Q∨P）が論理的に同値であることを示せ（対象律）－数理論理学
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【問題】$(P \lor Q) \leftrightarrow (Q \lor P)$が論理的に同値であることを示せ 命題変数$P$、$Q$に対して$(P \lor Q) \leftrightarrow (Q \lor […]
【問題】（P∧Q）⇔（Q∧P）が成り立つことを確認せよ（対象律）－数理論理学
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【問題】$(P \land Q) \leftrightarrow (Q \land P)$を確認せよ 命題変数$P$、$Q$に対して$(P \land Q) \leftrightarrow (Q \land P)$を確認 […]
#1 論理積、論理和、否定、含意の真理値表を確認する
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このページのまとめ 基本の論理式の真理値表を確認する 基本の論理式は、論理積「$\land$」、論理和「$\lor$」、否定「$\lnot$」、含意「$\to$」の4つ これらの論理式は公理にも出てくるので、どういった意 […]
【問題】（P→Q）と（￢P∨Q）が論理的に同値であることを示せ（含意は書き換え可能）－数理論理学
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【問題】$(P \to Q)$と$ (\lnot P \lor Q)$が論理的に同値であることを示せ 命題変数$P$、$Q$に対して$(P \to Q) $と$(\lnot P \lor Q)$が論理的に同値であることを […]
【問題】集合Xに対して和集合の公理が主張する集合が一意に定まることを証明せよ－集合論（和集合の公理＆外延性の公理）
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【問題】集合$X$に対して和集合の公理が主張する集合が一意に定まることを証明せよ 集合$X$に対して和集合の公理が主張する集合が一意に定まることを証明せよ 和集合の公理 $\forall X \, \exists A \ […]
#3 対の公理が主張する集合（「空集合」と「空集合だけを持つ集合」を要素に持つ集合など）
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「〇〇集合」だけを要素に持つ集合 前回、$\{\emptyset\}$（空集合だけを要素に持つ集合）という一元集合を確認しました。 ここで$\{\emptyset\}$に対しても同様に考えると、$\{\{\emptyse […]
【問題】二項定理を証明せよ－初等代数学
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【問題】二項定理を証明せよ 二項定理$\displaystyle (x+y)^n=\sum_{k=0}^{n} {}_n C_k \, x^{n-k}y^k$を証明せよ 回答 帰納法によって証明します。 （１）$n=0 […]
【問題】nCr=(n-1)Cr+(n-1)C(r-1)を証明せよ－組合せ数学
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【問題】${}_n C_r={}_{n-1} C_r+{}_{n-1} C_{r-1}$を証明せよ ${}_n C_r={}_{n-1} C_r+{}_{n-1} C_{r-1}$を証明せよ 回答 右辺$={}_{n-1 […]
【問題】n！=n(n-1)！を証明せよ－組合せ数学
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【問題】$n!=n(n-1)!$を証明せよ $n$が$n \geq 1$の自然数の時$n!=n(n-1)!$を証明せよ 回答 $n!=n(n-1)!$の右辺を変形して、左辺になれば証明できます。 $n(n-1)!=n(n […]
#2 空集合だけを要素に持つ集合
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空集合だけを要素に持つ集合 前回、空集合の発見にて、$\emptyset$（空集合）という集合の存在が確認できました。 それでは次に、対の公理が主張する集合について見ていきます。 「$x$と$y$という要素に対して、対の […]