令和2年センター本試＞数１＞第3問 (2) ( iii ) 解いてみた

 

問題

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令和２年度本試験の問題｜大学入試センター

第３問（２）

( iii )$\bigtriangleup  DHI$の外接円と内接円の半径を求める

$\bigtriangleup  DHI$の外接円の半径

円周角の定理（中心角は円周角の2倍になる）より、直角三角形の斜辺は外接円の直径である。直角三角形の斜辺$DI=10$なので、外接円の直径は$10$。よって、外接円の半径は$5$。

$\bigtriangleup  DHI$の内接円の半径

※内接円の中心を$O$、内接円の半径を$r$と置く

内接円の中心$O$から各三角形に垂線を引くと$\color {orange} \bigtriangleup ODI$、$\color {purple} \bigtriangleup OIH$、$\color {blue} \bigtriangleup OHD$の3つの三角形が作れる。この3つの三角形の面積の合計は$\bigtriangleup DHI$の面積と等しい。

$\bigtriangleup ODI$、$\bigtriangleup OIH$、$\bigtriangleup OHD$の面積

$\color {orange} \bigtriangleup ODI$、$\color {purple} \bigtriangleup OIH$、$\color {blue} \bigtriangleup OHD$の3つの三角形は円の中心から垂線をおろしてできた三角形なので、高さはすべて内接円の半径$r$である。

よって、$\color {orange} \bigtriangleup ODI$、$\color {purple} \bigtriangleup OIH$、$\color {blue} \bigtriangleup OHD$の各面積を$S1$、$S2$、$S3$と置くと、

$\color {orange} \bigtriangleup ODI$の面積$\displaystyle S1=\frac{10r}{2}=5r $

$\color {purple} \bigtriangleup OIH$の面積$\displaystyle S2=\frac{2 \sqrt{5}r}{2} =\sqrt{5}r$

$\color {blue} \bigtriangleup OHD$の面積$\displaystyle S3=\frac{4 \sqrt{5}r}{2} =2\sqrt{5}r$

$\bigtriangleup DHI$の面積

$\bigtriangleup DHI$は直角三角形なので、$\bigtriangleup DHI$の面積を$S$と置くと、
$\bigtriangleup DHI$の面積$\displaystyle S=2\sqrt{5} \times 4\sqrt{5} \div 2=20$

$S1+S2+S3=S$

$S1+S2+S3=S$なので、
$5r+2 \sqrt{5}r+\sqrt{5}r=20$

$\bigtriangleup  DHI$の内接円の半径$r=3 \sqrt{5}-5$

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